%\lr                                                          
\SecSlide{مقدمه}
\begin{rawslide}
\begin{block} 	
دستگاه معادلات خطی   سازگار
 \vspace{-.5cm}
\begin{equation}
\label{system}  
\mathbf{A} \mathbf x =  \mathbf b,
\end{equation}
 را در نظر بگیرید که در آن  
$  \mathbf A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ و $\mathbf b\in \mathbb{C}^{ n}$. 
ماتریس
$\mathbf{A}$
  تنک و از ابعاد بزرگ  است که ممکن است منفرد یا نامنفرد باشد. 
\end{block}
\end{rawslide}

\begin{plainslide}
	\begin{center}
			\hspace{-2cm}
\includegraphics[height=.55\paperheight]{resources/solution.pdf}
	\end{center}
\end{plainslide}\newpage
\begin{rawslide}
	\begin{remarkblock}  
	{  پییش شرط ساز، دستگاه پیش شرط سازی شده و روش تکراری }
	فرض کنید ماتریس 
	$\mathbf{A}$                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      
	را بتوان به صورت 
	\begin{align}
	\label{split}
	 \mathbf{A}= \mathbf{M}-\mathbf{N}
	\end{align} 
	نوشت که در آن 
	$\mathbf{M}$
	 نامنفرد است.
	
		می‌توان به جای حل دستگاه
		\eqref{system}
		دستگاه  زیر را حل نمود:   
		\begin{equation}
		\label{peq}
		\mathbf M^{-1} \mathbf{A}x=	\mathbf M^{-1} \mathbf b,
		\end{equation}
		و یا اینکه از روش تکراری زیر استفاده نمود:
		\begin{align}
		\label{iter}
		\mathbf	x^{(k+1)}=	\mathbf M^{-1} \mathbf{N}\mathbf x^{(k)}+	\mathbf M^{-1}\mathbf  b.
		\end{align}  
		دستگاه 
		\eqref{peq}
		را    دستگاه پیش‌شرط‌سازی شده،   
		$\mathbf M$
		را پیش‌شرط‌‌ساز دستگاه 
		\eqref{system}،
		روش تکراری
		\eqref{iter}
		را روش تکراری وابسته به شکافت
		\eqref{split} 
		و 		ماتریس \linebreak
		$\mathbf T=	\mathbf M^{-1} \mathbf{N}=\mathbf I-\mathbf M^{-1} \mathbf{A}$
		را ماتریس تکرار روش  
		   گویند.  
	   \end{remarkblock}
\end{rawslide}
%\begin{rawslide}
%	\begin{noteblock}{نکاتی که در ساختن یک پیش شرط ساز باید در نظر داشت }
%	\begin{enumerate}
%		\item
%		دستگاه پیش‌شرط‌‌سازی شده
%		\eqref{peq}
%		را می‌توان با روش‌های مختلفی نظیر روش‌های تصویری از جمله روش  
%		\textsf{ GMRES} 
%		\LTRfootnote{Generalized minimal residual method}
%		و ... حل نمود.
%		\item
%		سرعت همگرایی روش‌های تصویری  برای حل دستگاه
%		\eqref{peq}  
%		و همچنین سرعت همگرایی روش تکراری 
%		\eqref{iter}
%		بستگی به مقادیر ویژه ماتریس 
%		$\mathbf M^{-1}\mathbf{N}$
%		دارد.  	هر چه شعاع طیفی این ماتریس کوچکتر باشد، همگرایی سریعتر است. 
%		\item 
%		از اینکه در هر تکرار، نیاز به حل دستگاههایی بصورت 
%		$\mathbf{M}^{-1}\mathbf A v =w$
%	است، باید ماتریس
%		$\mathbf M$			 
%		به گونه ای انتخاب گردد تا وارون آن براحتی قابل محاسبه باشد.
%		\item
%		ماتریس  
%		$\mathbf M$
%		باید به گونه ای  باشد تا
%		$\mathbf{M}^{-1}\mathbf A$
%		به ماتریس همانی نزدیک شود.
%		لذا باید
%		$\mathbf{M}^{-1}$
%		تقریب خوبی برای ماتریس  
%		$\mathbf{A}^{-1}$
%		باشد و در نتیجه باید ماتریس  
%		$\mathbf{M}$
%		تقریب خوبی برای ماتریس
%		$ \mathbf A$
%		باشد.
%	\end{enumerate}
%\end{noteblock}
%\end{rawslide}
\begin{rawslide}
\begin{definitionblock}{همگرایی و نیمه همگرایی یک روش تکراری}
	اگر ماتریس 
	$\mathbf{A}$
	نا منفرد باشد،  جواب دستگاه یکتاست و  	 یک روش تکراری را همگرا گوییم اگر به تنها جواب دستگاه همگرا باشد و اگر ماتریس
	   $\mathbf{A}$
	 منفرد  باشد، آنگاه دستگاه بینهایت جواب دارد و  روش تکراری را  نیمه همگرا گوییم، اگر به یکی از این جواب‌ها همگرا شود. 
\end{definitionblock}  \pause 
\begin{theoremblock}{قضیه}
%\begin{enumerate}
	%	\item
		یک روش تکراری با ماتریس تکرار 
		$\mathbf T$ 
		همگراست اگر و تنها اگر 
		$\rho(\mathbf T)<1$ 
		که در آن 
		\begin{align}\rho(\mathbf T)=\max\left\{ |\lambda|, ~ \lambda \in \sigma(\mathbf T) \right\},	\end{align}
%		\item

		و  یک روش تکراری با ماتریس تکرار 
		$\mathbf T$ 
		نیمه همگراست اگر و تنها اگر \linebreak
		$rank(\mathbf I- \mathbf T)^2=rank(\mathbf I-\mathbf T)$  
		و
		$\nu(\mathbf T)<1$
		که در آن 
 	\begin{align}
	 \nu(\mathbf T)
	 =\max\{ | \lambda|; ~\lambda \in \sigma(\mathbf T), ~\lambda\neq 1   \}.
	 \end{align}
%	\end{enumerate}
\end{theoremblock}
\end{rawslide}
\SecSlide {
	 روش  EPSS برای حل دستگاه معادلات خطی} 
\begin{rawslide}
 \begin{exampleblock}{معرفی روش    {EPSS}} 
 فرض کنید  ماتریس 
 $\mathbf{A}$
 یک ماتریس نیمه معین مثبت
  ($\mathbf x^*(\mathbf{A}+\mathbf{A^*})\mathbf x \geq 0, \mathbf x\in \mathbb{C}^n$) 
  و دارای شکافتی بصورت  
\begin{align}
\label{sps}
\mathbf A =\mathbf P+\mathbf S, ~~ \mathbf P ~{\text{نیمه معین مثبت }}, ~~ \mathbf S^*=-\mathbf S
\end{align}
باشد. اگر $\Sigma$
یک ماتریس معین مثبت هرمیتی  باشد، آنگاه  شکافت‌های زیر را برای ماتریس 
$\mathbf{A}$
در نظر بگیرید:
\begin{align}
\mathbf{A} &=  (\Sigma+ {\mathbf P}  ) -  (\Sigma - \mathbf S)\\
&= (\Sigma +  \mathbf S) -  (\Sigma - {\mathbf P} ).
 \end{align}
دنباله تکراری زیر را به ازای
$\mathbf x^{(0)}$
دلخواه تولید کنید:
\begin{align}%\label{seq}
\begin{cases}
(\Sigma+ {\mathbf P}  ) {\mathbf x}^{(k+\frac{1}{2})}=  (\Sigma - \mathbf S  )   {\mathbf x}^{(k)}+ {\mathbf b},	\\
 (\Sigma +\mathbf S  ) {\mathbf x}^{(k+1)}= ( \Sigma - {\mathbf P}  )   {\mathbf x}^{(k+\frac{1}{2})}+ {\mathbf b}, 
\end{cases}
\end{align}
\end{exampleblock}
\end{rawslide}
\begin{rawslide}
\begin{exampleblock}{معرفی روش   {EPSS}} 
در این‌صورت داریم: 
\begin{align}
%\label{EPSS}
\mathbf{x}^{(k+1)}&=\mathbf{T}_{\EPSS}  {\mathbf x}^{(k)}+ {\mathbf c},\\
%\label{gama}
\mathbf T_{\EPSS}&= ( \Sigma +\mathbf  S  )^{-1}  ( \Sigma - {\mathbf P}   ) ( \Sigma +  {\mathbf P}   )^{-1}  ( \Sigma  - \mathbf  S  ),
\end{align}
و  $\mathbf{A}={\mathbf{M}}-{\mathbf{N}}$ که در آن 
%  and $ {c}=2  ( \Sigma + \mathbf  S  )^{-1} \Sigma   ( \Sigma +  {\mathbf P}    )^{-1}  {b}$.
\begin{align}
\label{MN}
{ \mathbf{M}}= \frac{1}{2}  ( \Sigma +\hat{\mathbf P}  )\Sigma ^{-1} ( \Sigma + \mathbf  S  ), ~~
{\mathbf N}=\frac{1}{2}  (\Sigma -\hat{\mathbf P}  )\Sigma ^{-1} ( \Sigma -\mathbf S  ).
\end{align}
\end{exampleblock}
  \pause
 
\begin{noteblock}{توجه}
 
	 در 	روش‌های 
   ،BTSS
	 ،TSS 
	  ،PSS   
	   HSS 
	   و
	    SS
	که برای حل دستگاه معادلات خطی معرفی شده‌اند،  $\Sigma=\alpha I (\alpha >0)$. 
\end{noteblock}
\end{rawslide}
\begin{rawslide}
 	\begin{theoremblock}{مقادیر ویژه ماتریس تکرار روش   {EPSS} } 
 		فرض کنید ماتریس
 		$\mathbf{A}=\mathbf P+\mathbf S$ 
 		 یک شکافت نیمه معین مثبت و پادهرمیتی   و ماتریس 
 		$\Sigma$
 		یک ماتریس معین مثبت هرمیتی باشد. آنگاه  		برای هر 
 		$\lambda \in \sigma(\mathbf T _{\EPSS})$,
 		داریم  
 		\begin{align}
 		|\lambda|^2 =\frac{r_1-r_2}{r_1+r_2},
 		\end{align}
 		که در آن  		$\tilde{\mathbf P}= \Sigma^{\frac{-1}{2}} {\mathbf P} \Sigma^{\frac{-1}{2}}$،
 		$r_1=y^*  (\mathbf I+ \tilde{\mathbf P}^* \tilde{\mathbf P}) y>0$   
 		و
 		$r_2=y^*(\tilde{\mathbf P}^*+\tilde{\mathbf P}) y\geq 0$ 
 		به ازای 
 		$0 \neq y \in \mathbb{C}^n$.
 		 بعلاوه، اگر 
 		$\mathbf{A}$ 
 		یک ماتریس نامنفرد باشد، آنگاه 
 		$1 \notin \sigma (\mathbf T_{\EPSS})$.
 		
% 	بنابراین 
% 	$\rho (\mathbf T_{\EPSS})\leq 1$ 
% 	و اگر  
% 	$ \hat{\mathbf P} $
% 	یک ماتریس معین مثبت باشد، آنگاه 
% 	$\rho (\mathbf T_{\EPSS})<1$.
 	\end{theoremblock}  \pause
 
\begin{corollaryblock}{همگرایی روش   {EPSS}} 
	اگر ماتریس 
	$\mathbf{A}$
	یک ماتریس  معین مثبت باشد، آنگاه 
		$\rho (\mathbf T_{\EPSS})<1$ 
		 و در نتیجه  روش 
		 $\EPSS$
		 همگراست درغیراین صورت 
		  	$\rho (\mathbf T_{\EPSS})\leq1$ 
		  	و ممکن است همگرایی یا نیمه همگرایی وجود نداشته باشد. 
\end{corollaryblock}
\end{rawslide} 
\begin{rawslide}
 \begin{exampleblock}{مثال}
ماتریس نامنفرد و نیمه معین مثبت 
$\mathbf{A}$ 
را بصورت 
\[
\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{bmatrix} 
\] 
در نظر بگیرید و فرض کنید
 $\Sigma=I$   و $\mathbf{P}=\mathbf{A}$.
 در این صورت 
 $ \sigma( \mathbf T_{\EPSS})=\{i, ~ -i\}$ 
 و در نتیجه  
$\rho(\mathbf T _{\EPSS})= 1$. 
بنابراین اگر  ماتریس 
$\mathbf{A}$
 نیمه معین مثبت باشد، ممکن است همگرایی یا نیمه همگرایی روش
  $\EPSS$
   وجود نداشته باشد.
\end{exampleblock}
\end{rawslide}
\begin{rawslide}
\begin{corollaryblock}{یک ایده برای همگرا کردن روش  {EPSS}}
	فرض کنید  ماتریس 
	$\mathbf{A}$ 
	یک ماتریس نامنفرد و نیمه معین مثبت باشد.    بنا  قضیه قبل 
	$1 \notin \sigma(\mathbf T _{\EPSS})$. 
	دنباله تکراری    
	\begin{align}
	\label{iter2}
	{\tilde u}^{(k+1)}=
	\left((1-\theta )I+\theta \mathbf T _{\EPSS}\right)
	{\tilde u}^{(k)}+{\tilde c}_\theta, ~\theta \in (0,1),
	\end{align}
را در نظر بگیرید	که در آن 
	 $u^{(0)} $
	 	دلخواه
	 	 و
	$
	\tilde c_\theta=\theta \mathbf P _{\EPSS}^{-1} b
	$.
	در این صورت این روش تکراری به ازای هر 
	$\theta \in (0,1)$, 
	همگراست و در نتیجه 	برای هر دستگاه معادلات خطی نامنفرد و نیمه معین مثبت، می‌توان از پیش‌شرط‌ساز زیر استفاده نمود:
\begin{align}
\tilde{\mathbf{P}}_\theta=\frac{1}{\theta} \mathbf P_{\EPSS}, ~~ \theta \in (0,1].
\end{align} 
\end{corollaryblock}
 \end{rawslide}
\begin{rawslide}
\begin{exampleblock}{مثال}
	ماتریس نامنفرد و معین مثبت زیر را در نظر بگیرید:
	 \begin{align}	 
	 \mathbf{A}&=\left[\begin{matrix}
	 W&F\Omega\\-F^T&N
	 \end{matrix}\right],\\
	 w_{k,j}&=
	 \begin{cases}
	 k+1 ~~~ \text{به ازای } ~~ j=k,\\ \vspace{-10pt}
	 1 ~~~~~~~~ \text{به ازای } ~~ |k-j|=1, ~~ k,j=1,2, \ldots,q,\\ \vspace{-10pt}
	 0 ~~~~~~~~ \text{جاهای دیگر},
	 \end{cases}\nonumber\\ \vspace{-10pt}
	 n_{k,j}&=
	 \begin{cases}
	 k+1 ~~~ \text{به ازای} ~~ j=k,\\ \vspace{-10pt}
	 1 ~~~~~ \text{به ازای} ~~ |k-j|=1, ~~ k,j=1,2, \ldots,n-q,\\ \vspace{-11pt}
	 0 ~~~~~ \text{جاهای دیگر},
	 \end{cases}\nonumber\\ \vspace{-11pt}
	 f_{k,j}&=
	 \begin{cases}
	 1 ~~ \text{به ازای } ~ k=j+2q-n, k=1,2, \ldots,q,j=1,2, \ldots,n-q,\\\vspace{-11pt}
	 0 ~~\text{جاهای دیگر},\nonumber
	 \end{cases}
	 \end{align} 
	 \end{exampleblock} 
 \end{rawslide}
\begin{rawslide}
 \begin{exampleblock}{مثال}
 و 	$ w_k=\frac{1}{k}, ~~~~~~~k=1,2, \ldots,n-q $. 
 
	 در شکافت
	    $\mathbf{A}={\mathbf P}+\mathbf{S}$،
	    انتخاب‌های زیادی برای ماتریس 
	 ${\mathbf P}$
	 وجود دارند.\\ چهار   انتخاب زیر را برای این ماتریس  در نظر می گیریم: 
	 \begin{enumerate}
	 	\item ${\mathbf P}_1=\mathbf D+\mathbf L+\mathbf U^*$.
	 	\item ${\mathbf P}_2=\mathbf {B_D}+\mathbf {B_L}+\mathbf {B_U}^*$.
	 	\item ${\mathbf P}_3=\mathbf H_{\mathbf A}=\frac{1}{2}(\mathbf A+\mathbf A^*)$. 
	 	\item ${\mathbf P}_4={\mathbf A}$. 
	 \end{enumerate} 
 که به‌ ترتیب روش‌های 
،TSS
 ،BTSS 
 HSS
 و
  SS
    را پدید می‌آورند که در آن 
    $\mathbf D$, $\mathbf L$ و $\mathbf U$ 
   بترتیب ماتریس‌های  قطری، پایین مثلثی اکید و بالامثلثی اکید ماتریس   $\mathbf A$  و 
	 \begin{align}
	 \mathbf {B_D}=\left[\begin{matrix}
	 W&0\\0&N
	 \end{matrix}\right], 
	 ~~
	 \mathbf {B_L}=\left[\begin{matrix}
	 0&0\\-F^T&0
	 \end{matrix}\right],
	 ~~ \mathbf {B_U}=\left[\begin{matrix}
	 0&F\Omega\\0&0
	 \end{matrix}\right].
	 \end{align}
 \end{exampleblock}
\end{rawslide}
\begin{rawslide} 
\begin{exampleblock}{مثال}
	فرض کنید 
	$  Q_j$
به ازای هر 
$ j=1,2,3$ 
 بصورت زیر باشد:
 \begin{align}
 Q_1=I,~~Q_2={\rm diag(diag}(A)), ~~Q_3=BD.
 \end{align}
 روش EPSS را با ماتریس 
 $P=P_i$
 و
 $\Sigma=\alpha Q_j$
 درنظر بگیرید. 
 	به ازای هر 
	$ j=1,2,3$
	تقریبی برای پارامتر بهینه برای
	$\alpha$
	بصورت زیر به دست آمده است: 
	\begin{align}
	\label{galphst}
	\alpha_*^{(i,j)}=\begin{cases}
	\norm{\mathbf{\tilde{A}}_j},~~~~~~~~~~i=4,\\
	\mu_{\max}^{(i,j)}  \mu_{\min}^{(i,j)}, ~i=1,2,3,
	\end{cases}
	\end{align}
	که در آن
	$\mathbf{\tilde{A}}_j=  \mathbf Q_j^{-\frac{1}{2}}\mathbf A \mathbf Q_j^{-\frac{1}{2}}$ 
	و
	$\mu_{\max}^{(i,j)}$ و 
	$ \mu_{\min}^ {(i,j)}$
	به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقدار ویژه ماتریس 
	$   \mathbf Q_j^{-\frac{1}{2}}\mathbf { BD}_i \mathbf Q_j^{-\frac{1}{2}}$ 
	می‌باشند. 
\end{exampleblock}	
\end{rawslide}
 
 
\begin{rawslide}
\begin{table}[!htp]
	%	sidewaystable
	\begin{center}
		\textbf{\caption{\small  تکرار و  زمان محاسبه  برای  \textcolor{blue}{
					روش تکراری
				$\IEPSS$}.}}
		\label{TblIEPSS}
		\scalebox{.71}
		{\begin{latin}
				\begin{tabu}{|c|c|||c|c|c|c|||c|c|c|c|||c|c|c|c|}\taburowcolors 2{blue!10 .. white!10} 
					\hline 
				%	&
					&$\Sigma=\alpha \mathbf Q_j$&\multicolumn{4}{c|}{$\mathbf {Q_1=I}$}&\multicolumn{4}{c|}{$ \mathbf {Q_2=D}$}&\multicolumn{4}{c|}{$\mathbf {Q_3=BD}$}\\ 
					\hline
					% &
					$n$&$ \mathbf {  P}_ i$&$\mathbf {  P}_ 1(\TSS)$&$\mathbf {  P}_ 2(\BTSS)$&$\mathbf {  P}_ 3(\HSS)$&$ \mathbf {  P}_ 4(\SS)$&$\mathbf {  P}_ 1$&$\mathbf {  P}_ 2$&$\mathbf {  P}_ 3$&$\mathbf {  P}_ 4$&$\mathbf {  P}_ 1$&$\mathbf {  P}_ 2$&$\mathbf {  P}_ 3$&$\mathbf {  P}_ 4$\\ 
					\hline 
					%\multirow[c]{10}{*}{\rotatebox{90}{‏\large\bfseries {\rl{روش تکراری}}}}& \multirow[c]{2}{*}
					{\bfseries 400}
					&CPU&0.20&0.11&0.12&0.37&0.08&0.03&0.04&0.06&0.05&0.04&0.02&0.06\\ %\cline{3-15}
					%&
					&IT&113&104&128&1076&9&9&8&13&6&8&4&7 \\ \cline{1-14} 
				%	& 					\multirow[c]{2}{*}
				{\bfseries 800}
					&CPU&0.15&0.11&0.12&0.61&0.06&0.09&0.13&0.08&0.07&0.05&0.02&0.15\\ %\cline{3-15} 
				%	&
					&IT&159&147&182&1850&8&10&8&12&6&8&3&7 \\  \cline{1-14} 
				%	& 					\multirow[c]{2}{*}
				{\bfseries 1600}
					&CPU&0.43&0.18&0.20&2.18&0.10&0.08&0.12&0.14&0.12&0.14&0.04&0.37\\ %\cline{3-15} 
				%	&
					&IT&223&206&257&3098&8&10&7&11&6&8&3&7 \\  \cline{1-14} 
			%		&  \multirow[c]{2}{*}
			{\bfseries 3200}
					&CPU&1.69&0.48&1.39&5.06&1.04&0.39&0.42&1.26&0.47&0.38&0.25&2.30\\ %\cline{3-15} 
				%	&
					&IT&314&291&362&4993&8&9&7&11&6&8&3&7 \\  \cline{1-14} 
				%	&  	\multirow[c]{2}{*}
				{\bfseries 6400}
					&CPU&3.53&1.56&3.05&11.59&2.18&1.91&1.24&2.65&1.67&1.03&0.84&6.13\\ %\cline{3-15} 
				%	&
					&IT&442&413&511&7586&8&8&7&11&6&8&3&7 \\ \hline
									\end{tabu}
				\end{latin}}
			\end{center}
		\end{table}
	\end{rawslide}
 
\SecSlide{
	 مسائل نقطه زینی}
\begin{rawslide}
\begin{definitionblock}{مسائل نقطه زینی}
\begin{equation}\label{sdpr}
\mathcal{A}{\bf x}\equiv\left(
\begin{array}{cc}
A & B^* \\
-B & C
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{c}
f \\
-g
\end{array}
\right)={\bf b},
\end{equation}
\begin{center}
	
\end{center}

\begin{itemize}
	\item
	  $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$
	یک ماتریس معین مثبت  است.
	($x^*(A+A^*)x>0$~~ $\forall x \neq 0$)
	\item $C\in \mathbb{C}^{m\times m}$
	 ماتریس نیمه معین مثبت است.
	($x^*(C+C^*)x\geq0$~~ $\forall x \neq 0$)
\end{itemize}
در این صورت ماتریس
 $\mathcal{A}\in \mathbb{C}^{(m+n)\times( m+n)}$
 یک ماتریس  نیمه معین مثبت است.
\end{definitionblock}  \pause
\begin{theoremblock}{قضیه}
	اگر ماتریس 
	$A$ 
	یک ماتریس معین مثبت باشد،  آنگاه ماتریس 
	$\mathcal{A}$
	نامنفرد است اگر و تنها اگر  \hspace{-.5cm}
	$$null(B^*) \cap null(C)=0.$$
\end{theoremblock}
\end{rawslide}
\begin{rawslide}
\begin{exampleblock}{روش  HSS برای حل مسائل نقطه زینی}

فرض کنید $C$ یک ماتریس معین مثبت متقارن و 
$A=H+S$
شکافت هرمیتی و پاد هرمیتی ماتریس 
$A$
باشد. در این صورت 
\begin{align}
\mathcal{A}= \mathcal{H}+\mathcal{S}
=\begin{bmatrix}
H&0\\
0&C
\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}
S&B^*\\
-B&0
\end{bmatrix},
\end{align}
شکافت هرمیتی و پادهرمیتی ماتریس 
$\mathcal{A}$ 
خواهد بود. اگر ماتریس 
$A$
معین مثبت متقارن باشد، آنگاه
پیش‌شرط‌ساز  روش  $\HSS$ به صورت
  \vspace{-.3cm}
\begin{align}
{{\mathcal {P}}_{\HSS}}=\begin{bmatrix}
A+\alpha I & B^{T}+\frac{1}{\alpha}AB^T \\
-B &  \alpha I +C
\end{bmatrix},
\end{align} 
خواهد بود که  دارای اختلاف   \vspace{-.3cm}
\begin{align}
\mathcal{R}_{\HSS}= \mathcal{P}_{\HSS} -\mathcal{A}=\begin{bmatrix}
\alpha I &  \frac{1}{\alpha}AB^T \\
0 &  \alpha I, 
\end{bmatrix},
\end{align}
با ماتریس  $\mathcal{A}$ است. 
\end{exampleblock}
\end{rawslide}
\begin{rawslide}
	\begin{exampleblock}{روش  RHSS برای حل مسائل نقطه زینی}
		
	 یک حالت تعدیل یافته از  پیش‌شرط‌ساز HSS‌ در 
	\cite{cao312013} 
	توسط کائو و همکاران به صورت زیر ارائه شده است:
	\begin{align*}
	\mathcal {P}_{\RHSS}
	 =\begin{bmatrix}
	A & \frac{1}{\alpha}AB^T \\
	-B &  0
	\end{bmatrix},~~	\mathcal {R}_{\RHSS} = \mathcal {P}_{\RHSS}-\mathcal{A}
	= 
	\begin{bmatrix}
	0& (\frac{1}{\alpha}A-I)B^T \\
	0 & 0
	\end{bmatrix}.
	\end{align*} 
	\end{exampleblock} \pause
\begin{corollaryblock}{قضیه}
فرض کنید 
$A \in \mathbb{ R}^{n\times n}$
یک ماتریس متقارن معین مثبت، 
$B \in \mathbb{ R}^{m \times n}$
یک ماتریس رتبه کامل، و 
$\alpha$
یک عدد مثبت باشد. 
در این صورت 
\begin{align*}
\rho(\Gamma_{\RHSS})=\max_{1\leq i \leq m} |1-\alpha \mu_i|,
\end{align*}
که در آن 
$\mu_i $،
به ازای $(1\leq i \leq m)$،
مقادیر ویژه ماتریس 
$(BB^T)^{-1}BA^{-1}B^T$
هستند. آنگاه روش تکراری 
$\RHSS$
همگراست  اگر 
$0<\alpha<\frac{2}{\mu_{\max}}$ 
و در نتیجه 
$\alpha_{opt}=\frac{2}{\mu_{\max}+\mu_{\min}}$.  
	
\end{corollaryblock}
\end{rawslide} 
\begin{rawslide}
	\begin{proofblock}{روش  REHSS برای حل مسائل نقطه زینی}
		
		هنگامی که 
		$\alpha $ به عدد صفر نزدیک می‌شود،
		بلوک‌های 
		$(1,2)$
		در پیش‌شرط‌سازهای 
		$\HSS$ 
		و
		$\RHSS$
		بی‌کران می‌شوند. برای رفع این مشکل، شکافت 
		\begin{align}
		\mathcal{A}= \mathcal{P}_{\REHSS}-\mathcal{R}_{\REHSS}
		 =\begin{bmatrix}
		A&AB^T\\
		-B&\alpha I
		\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
		0&(A-I)B^T\\
		0 &\alpha I
		\end{bmatrix},
		\end{align}
		را که در آن 
		$\alpha>0$،
		برای ماتریس 
		$\mathcal{A}$
		در نظر می‌گیریم.
		
	\end{proofblock} \pause
\begin{propositionblock}{قضیه}
فرض کنید 
\label{th1rehss}
$Q=B \left(  \frac{1}{2} A^{-1}- I \right)B^T$ و  $\delta=\lambda_{\max}(Q)$. 
آنگاه برای هر \linebreak
$\alpha> \max \{\delta, 0\}$، 
خواهیم داشت   $\rho(\Gamma_{\REHSS})<1$.
\end{propositionblock}
\end{rawslide} 
\begin{rawslide}
\begin{noteblock}{قضیه}
به ازای هر 
$\alpha>0$،
ماتریس  پیش‌شرط‌سازی‌شده    
$\mathcal{P}^{-1}_{\REHSS}\mathcal{A}$
دارای مقدار ویژه 1 از تکرار جبری حداقل 
$n$ می‌باشد. بقیه مقادیر ویژه 
برابر 
$\mu_i$ 
هستند که  $\mu_i$
مقدار ویژه ماتریس 
$\hat{A}=(\alpha I+BB^T)^{-1}BA^{-1}B^T$
می‌باشد.
\end{noteblock}    \pause
\begin{corollaryblock}{نتیجه}
	درجه چندجمله‌ای مینیمال ماتریس  پیش‌شرط‌سازی‌شده   
	$\mathcal{P}^{-1}_{\REHSS}\mathcal{A}$
	حداکثر برابر \linebreak
	$m+1$
	است. بنابراین، بعد زیرفضای کرایلف 
	$\mathcal{K}_n(\mathcal{P}^{-1}_{\REHSS}\mathcal{A},b)$
	حداکثر برابر 
	$m+1$
	می‌باشد.	 
\end{corollaryblock}   \pause
\begin{algorithmblock}{الگوریتم}
\hspace{-1.9cm}{
}
		\begin{enumerate}
\vspace{-1cm} \pause	\item 
	$As_1=x_1$ را حل کنید.
	\item
	قرار دهید 	
	$s_2=Bs_1+x_2$  	 
	\item  
	$(\alpha I +BB^T)y_2= s_2$ را حل کنید.
	\item
	قرار دهید 
	$y_1=s_1-B^Ty_2$.
\end{enumerate}

\end{algorithmblock}
\end{rawslide} 
\begin{rawslide}
 
\newpage
\begin{table}[!htp]
	\begin{center}
		\caption{نتایج عددی برای مسأله   حفره با درپوش متحرک با شبکه   $2^r \times 2^r$	}\label{tabliddriven}
		\scriptsize
		\scalebox{1}
		{
			\latin{
		 	\taburowcolors  25{blue!30 .. white!100}
			\begin{tabu}{c|l|cccccccccccccccccc} 
				\hline  
				{}  & {} &    \multicolumn{2}{c}{$\alpha=10^{-4}$} & &  \multicolumn{2}{c}{$\alpha=10^{-2}$}  & & \multicolumn{2}{c}{$\alpha=1 $}  &  &\multicolumn{2}{c}{$\alpha=10^2$} \\ 
				\cline{3-4} \cline{6-7}  \cline{9-10}  \cline{12-13} 
				{r} & {Precon.}   & {IT}            & {CPU}&& {IT}    & {CPU}&& {IT}    & {CPU}&& {IT}    & {CPU} \\ \hline 	\hline 
				%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
				&$\mathcal P_{\HSS}$  &   4&    0.04&&  5&  0.06&& 13& 0.16&&106&    1.46\\
				$16 \times 16 $  &$\mathcal P_{\RHSS}$  &  3&    0.02&&  3& 0.02&&  3& 0.02&&  4&    0.04\\
				&$\mathcal P_{\REHSS}$  &  3&    0.02&&  3& 0.02&&  3& 0.02&&  3&    0.02 \\ 
				\hline 	\hline 
				%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
				&$\mathcal P_{\HSS}$  &  8&    0.37&&  9& 0.45&&144& 8.45&&$\dag$&   -\\
				$32 \times 32 $  &$\mathcal P_{\RHSS}$  &  5&    0.19&&  5& 0.2&&  5& 0.21&&  9&    0.43\\
				&$\mathcal P_{\REHSS}$  &5&    0.21&&  4& 0.12&&  3& 0.07&&  3&    0.07\\
				\hline  	\hline 
				%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
				&$\mathcal P_{\HSS}$  & 14&    3.87&& 47& 14.21&&$\dag$& -&&$\dag$&   -\\
				$64 \times 64 $  &$\mathcal P_{\RHSS}$  &8&    1.97&&  8&  2.03&&  9&  2.29&& 27&     8.1\\
				&$ P_{\REHSS}$  & 11&    3.08&&  3& 0.47&&  3& 0.42&&  3&    0.39\\
				\hline  	\hline 
				%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
				&$\mathcal P_{\HSS}$  & 38&   76.32&&$\dag$&-&&$\dag$& -&&$\dag$& -\\
				$128 \times 128 $  &$\mathcal P_{\RHSS}$  & 15&   30.85&& 14&  25.95&& 17&  33.46&& 79&  160.91\\
				&$\mathcal P_{\REHSS}$  & 9&    17.3&&  3&  3.86&&  3&  3.69&&  3&    3.86\\
				\hline  	\hline 
				%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
				&$\mathcal P_{\HSS}$  &\textbf{115}&\textbf {2064.44}&&- &  $\dag \dag$&& -&   $\ddag$&& -&  $\ddag$\\
				$256\times 256 $  &$\mathcal P_{\RHSS}$  &37&   641.5&& \textbf{28}&  \textbf{471.97}&& 38& 648.74&&-&  $\ddag$\\
				&$\mathcal P_{\REHSS}$  &5&   67.63&&  3&  33.11&&  3&  31.91&& \textbf{3} &  \textbf {27.43}\\
				\hline 
			\end{tabu}}}
		\end{center}
\end{table}
\end{rawslide}
\newpage
 
 
\begin{plainslide}
\begin{table}[!htp]
%	\begin{latin}
\caption{پیش‌‌شرط‌سازهای خاصی از پیش‌‌شرط‌ساز $\mathfrak{P}_{\EPSS}$	} 
		\begin{center}
			\scalebox{.8}{
				\begin{tabu}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc} \hline
					\taburowcolors [2]12{green!65 .. gray!30}
					&$A$ &$B$ & $C$&$P_\alpha$ &$P_\beta$ &
					 پیش‌شرط‌ساز& 
					${ }_{\text{~همگرایی}}^{\text{نیمه‌همگرایی}}$
					& مرجع \\ 
					\hline \hline
				& PD&  رتبه کامل&SPSD& $\alpha I$& $\alpha  I$&$\mathcal{P}_{HSS}$& همگرا&	\cite{benzi262004}  \\\cline{2-9}
					& SPSD& رتبه کامل &SPSD& $\alpha I$& $\alpha  I$&$\mathcal{P}_{HSS}$& همگرا&	\cite{simoncini262004}  \\\cline{2-9}
					%$B_P=B$& HPSD&rect &HPSD& $\alpha I$& $\alpha  I$&$\mathcal{P}_{HSS}$& &	\cite{bai892010}  \\\cline{2-9}
					& HPD& &HPSD& $\alpha I$& $\beta  I$&$\mathcal{P}_{GHSS}$& & \\\cline{2-9}
					& HPD& &HPSD& $\alpha Q_1$& $\beta  Q_2$&$\mathcal{P}_{EHSS}$& & \\\cline{2-9}
					& HPD&  رتبه کامل &0& $\alpha I$& $\alpha  I+Q$ &$\mathcal{P}_{RHSS}$& همگرا& \cite{bai572017}  \\\cline{2-9} 
					& HPD&   رتبه ناقص&0& $\alpha I$& $\alpha  I+Q$ &$\mathcal{P}_{RHSS}$&نیمه همگرا&  \cite{chao762018}  \\\cline{2-9} 
					$\mathbf{ B_P=B}$& HPD& رتبه کامل &0& $\alpha A$& $\alpha  Q$ &$\mathcal{P}_{PHSS}$& همگرا&   \cite{bai982004} \\\cline{2-9} 
					& HPD&  رتبه کامل  &0& $\alpha A$& $\beta  Q$ &$\mathcal{P}_{AHSS}$& همگرا& \cite{bai272007}  \\\cline{2-9} 
					& PD&  رتبه کامل  &0& $\alpha I$& $\alpha  I$&$\mathcal{P}_{PSS}( \mathcal{P}_{DPSS})$& همگرا& 	\cite{pan1722006}\\\cline{2-9}
					& PD&  رتبه کامل  &HPSD& $\alpha I$& $\alpha  I$&$\mathcal{P}_{PSS}( \mathcal{P}_{DPSS})$& همگرا& 	\cite{shen2372014}\\\cline{2-9}
					& PD&  رتبه کامل &0& $\alpha I$& $\beta  I$&$\mathcal{P}_{GPSS}$& همگرا& 	\cite{wang2982016,huang752017}  \\\cline{2-9}
					& PD&    رتبه ناقص &0& $\alpha Q_1$& $\beta  Q_2$&$\mathcal{P}_{EPSS}(\mathcal{P}_{PDPSS}) 	$&نیمه همگرا&  \cite{liang782018}\\\cline{2-9}
					& PD& رتبه کامل &0& $\alpha I$& $\alpha  I+Q$ &$\mathcal{P}_{RPSS}$&  همگرا&	\cite{cao842018} \\ \hline 
			\end{tabu}}
\end{center}
%	\end{latin}
\end{table}
\end{plainslide}
\newpage
\begin{plainslide}\begin{table}[!htp]
	%	\begin{latin}
	\begin{center}
	\scalebox{.8}{
		\begin{tabu}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc} \hline
			\taburowcolors [2]12{green!65 .. gray!30}
			&$A$ &$B$ & $C$&$P_\alpha$ &$P_\beta$ &
			پیش‌شرط‌ساز& 
			${ }_{\text{~همگرایی}}^{\text{نیمه‌همگرایی}}$
			& مرجع \\ 
			\hline \hline
					& HPD& رتبه کامل &0& $\alpha I$& $\alpha  I$&$\mathcal{P}_{SS}$& همگرا&    \cite{cao2722014}\\\cline{2-9}
					& SPD& رتبه کامل &0& $\alpha I$& $\beta  I$&$\mathcal{P}_{GSS}$& همگرا&   \cite{ren3112017,chen2692015} \\\cline{2-9}
					& SPD& رتبه کامل &SPSD& $\alpha I$& $\beta  I$&$\mathcal{P}_{GSS}$& همگرا&   \cite{salkuyeh482015} \\\cline{2-9}
					& PD& رتبه ناقص &0& $\alpha I$& $\beta  I$&$\mathcal{P}_{GSS}$&  نیمه همگرا&	    \cite{cao712016} \\\cline{2-9}
					$\mathbf{ B_P=0}$& SPD&  رتبه ناقص &0& $\alpha I$& $\beta  I$&$\mathcal{P}_{GSS}$& نیمه همگرا&	    \cite{shi2692015} \\\cline{2-9}
					& PD& ${ }^{\text{~رتبه کامل و}}_{\text{ناقص}}$    &SPSD& $\alpha I$& $\beta  I$&$\mathcal{P}_{GSS}$&  نیمه همگرا و    همگرا&	    \cite{shen722016} \\\cline{2-9}
					& SPD&  رتبه کامل&SPSD& $\alpha I$& $\beta  I$&$\mathcal{P}_{GSS}$&   همگرا&	    \cite{salkuyeh482015} \\\cline{2-9}
					& PD&  رتبه کامل&SPSD& $\alpha I$& $\beta  I$&$\mathcal{P}_{GSS}$&   همگرا&	    \cite{conferyazd} \\\cline{2-9}
					& PD& رتبه کامل    &0& $\alpha I$& $\beta  I$&$\mathcal{P}_{GSS}$&   همگرا&	    \cite{cao492015} \\\cline{2-9}
					& SPD&  رتبه کامل&0& $ Q_1$& $  Q_2$&$\mathcal{P}_{ESS}$&   همگرا&   \cite{zheng3132017} \\\cline{2-9}
					& PD& رتبه ناقص &0& $\alpha Q_1$& $\beta  Q_2$&$\mathcal{P}_{ESS}$&نیمه همگرا&  \cite{salkuyeh7420172} \\\hline 
			\end{tabu}}
		\end{center}
%	\end{latin}
\end{table}
\end{plainslide}
\newpage
 
\begin{rawslide}
	\taburowcolors  [2]5{blue!40 .. yellow!80}
	\begin{table} [!htp]
		\begin{center}
			\caption{  نتایج عددی برای همگرایی روش‌های مختلف هنگامیکه ماتریس $\mathcal{A}$ نامنفرد است. }
			\label{navstolidq1p02}
			\scriptsize
		\scalebox{.8}
		{
			\latin{
				\begin{tabu}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||c|c|}
					\hline
					grid &prec.    \navierOTHER{GSS}{GHSS}{GPSS}{ESS}{EHSS}{EPSS}{SS}{HSS}{PSS}\navierSEPSS{SEPSS}{SEPSS$_{*}$}{SEPSS$_{**}$} \\ \hline
				%	\multirow[c]{20}{*}{\large\bfseries Exact}
					{  $\mathbf{32\times 32} $}& $t_\alpha$   \navierOTHER{-3.75}{-2.00}{-2.00}{-3.50}{-0.75}{-0.75}{-4.00}{-2.25}{-2.25}\navierSEPSS{-4.00}{-4.00}{-4.00}\\&
						 $t_\beta$   \navierOTHER{-4.00}{-2.50}{-2.50}{-3.75}{-0.75}{-0.75}{-4.00}{-2.25}{-2.25}\navierSEPSS{0.00}{0.41}{0.14}\\& 
				 IT   \navierOTHER{6}{54}{56}{3}{52}{54}{6}{61}{74}\navierSEPSS{17}{22}{17}\\& 
					CPU   \navierOTHER{0.03}{0.11}{0.08}{0.02}{0.12}{0.08}{0.02}{0.14}{0.10}\navierSEPSS{0.02}{0.04}{0.04}\\& 
				%& $E_K$    \navierOTHER{1.8e-07}{3.2e-07}{2.3e-07}{3.8e-07}{1.9e-07}{4.1e-07}{1.5e-08}{3.1e-07}{3.5e-07}\navierSEPSS{4.8e-08}{4.2e-08}{1.9e-08}\\& 
			 $R_K$   \navierOTHER{7.9e-10}{8.8e-10}{9.1e-10}{7.3e-10}{8.0e-10}{9.5e-10}{6.9e-11}{7.5e-10}{9.6e-10}\navierSEPSS{4.3e-10}{5.9e-10}{6.6e-10}\\  
		\clnavier
	{\bfseries $\mathbf{64\times 64 }$}& $t_\alpha$   \navierOTHER{-4.00}{-2.25}{-2.25}{-4.00}{-1.00}{-1.00}{-4.00}{-2.50}{-2.75}\navierSEPSS{-4.00}{-4.00}{-4.00}\\& 
 $t_\beta$   \navierOTHER{-4.00}{-3.75}{-3.75}{-3.75}{-1.25}{-1.25}{-4.00}{-2.50}{-2.75}\navierSEPSS{0.00}{0.41}{0.29}\\& 
 IT   \navierOTHER{9}{92}{92}{3}{90}{90}{9}{199}{156}\navierSEPSS{17}{23}{20}\\& 
CPU   \navierOTHER{0.20}{1.31}{0.56}{0.14}{1.50}{0.55}{0.21}{3.62}{1.16}\navierSEPSS{0.14}{0.16}{0.14}\\& 
%& $E_K$    \navierOTHER{9.8e-08}{7.1e-07}{6.9e-07}{1.1e-06}{7.2e-07}{6.5e-07}{9.8e-08}{5.3e-06}{4.0e-06}\navierSEPSS{7.1e-07}{4.6e-07}{6.1e-08}\\ & 
 $R_K$   \navierOTHER{1.7e-10}{8.7e-10}{8.7e-10}{6.5e-10}{9.6e-10}{8.8e-10}{1.7e-10}{9.3e-10}{8.7e-10}\navierSEPSS{8.1e-10}{7.7e-10}{5.7e-10} \\  
\clnavier 
{ $\mathbf{128\times 128} $}& $t_\alpha$   \navierOTHER{-4.00}{-2.50}{-2.50}{-3.75}{-1.25}{-1.25}{-4.00}{-}{-3.50}\navierSEPSS{-4.00}{-4.00}{-4.00} \\ &
 $t_\beta$   \navierOTHER{-4.00}{-4.00}{-4.00}{-3.75}{-1.50}{-1.75}{-4.00}{-}{-3.50}\navierSEPSS{0.00}{0.39}{0.41} \\ &
 IT   \navierOTHER{17}{231}{235}{4}{163}{164}{17}{$\dag$}{430}\navierSEPSS{19}{25}{26} \\ &
CPU   \navierOTHER{1.91}{18.80}{6.36}{1.12}{15.55}{4.41}{1.89}{-}{10.86}\navierSEPSS{0.86}{0.95}{0.96} \\ &
% $E_K$    \navierOTHER{2.3e-07}{3.0e-05}{3.2e-05}{1.9e-06}{5.6e-06}{4.4e-07}{2.3e-07}{-}{1.2e-05}\navierSEPSS{2.2e-06}{9.0e-06}{6.8e-05}} \\ &
 $R_K$   \navierOTHER{3.1e-10}{9.6e-10}{9.7e-10}{4.9e-10}{9.6e-10}{9.9e-10}{3.1e-10}{-}{9.9e-10}\navierSEPSS{6.1e-10}{6.9e-10}{8.1e-10} \\ 
\clnavier
{ $\mathbf{256\times 256} $}& $t_\alpha$   \navierOTHER{-4.00}{-}{-}{-4.00}{-1.25}{-1.25}{-4.00}{-}{-}\navierSEPSS{-4.00}{-4.00}{-4.00} \\ &
 $t_\beta$   \navierOTHER{-4.00}{-}{-}{-4.00}{-2.00}{-2.00}{-4.00}{-}{-}\navierSEPSS{0.00}{0.37}{0.45} \\ &
 IT   \navierOTHER{44}{$\dag$}{$\dag$}{4}{243}{242}{44}{$\dag$}{$\dag$}\navierSEPSS{24}{41}{42} \\ &
CPU   \navierOTHER{12.69}{-}{-}{10.57}{129.01}{31.72}{13.11}{-}{-}\navierSEPSS{7.49}{7.15}{7.17} \\ &
% $E_K$    \navierOTHER{1.6e-04}{-}{-}{1.1e-05}{8.0e-06}{8.0e-06}{1.6e-04}{-}{-}\navierSEPSS{1.2e-05}{5.6e-06}{1.7e-05} \\ &
 $R_K$   \navierOTHER{9.0e-10}{-}{-}{7.7e-10}{9.9e-10}{1.0e-09}{9.0e-10}{-}{-}\navierSEPSS{5.5e-10}{9.9e-10}{7.9e-10} \\ 
\hline
			\end{tabu}
		}}
	\end{center}
\end{table}
\end{rawslide}
\begin{rawslide}
		\taburowcolors  [2]5{blue!25 .. green!10}
\begin{table}[!htp]
	\begin{center}
		\caption{ نتایج عددی برای همگرایی روش‌های مختلف هنگامیکه ماتریس $\mathcal{A}$ منفرد است. }
		\label{navstolidq1p01}
		\scriptsize
		\scalebox{.8}
		{
			\latin{
			\begin{tabu}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||c|c||c|}
				\hline
				grid &prec.    \navierOTHER{GSS}{GHSS}{GPSS}{ESS}{EHSS}{EPSS}{SS}{HSS}{PSS}\navierSEPSS{SEPSS}{SEPSS$_{*}$}{SEPSS$_{**}$} \\ \hline 
				$\mathbf{32\times 32} $& $t_\alpha$   \navierOTHER{-4.00}{-2.25}{-2.00}{-4.00}{-0.75}{-4.00}{-4.00}{-2.25}{-2.25}\navierSEPSS{-4.00}{-4.00}{-4.00} \\ 
				& $t_\beta$   \navierOTHER{-4.00}{-2.25}{-2.50}{-4.00}{-0.75}{2.75}{-4.00}{-2.25}{-2.25}\navierSEPSS{0.00}{0.41}{0.14} \\ 
				& IT   \navierOTHER{5}{41}{46}{3}{41}{19}{5}{41}{48}\navierSEPSS{10}{12}{11} \\ 
				&CPU   \navierOTHER{0.03}{0.12}{0.10}{0.02}{0.13}{0.04}{0.03}{0.14}{0.05}\navierSEPSS{0.02}{0.04}{0.03} \\ 
			%	& $E_K$    \navierOTHER{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}\navierSEPSS{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01} \\ 
				& $R_K$   \navierOTHER{1.0e-10}{9.7e-10}{9.8e-10}{2.2e-12}{8.7e-10}{1.0e-09}{1.0e-10}{9.7e-10}{8.5e-10}\navierSEPSS{9.6e-10}{8.8e-10}{3.4e-10} \\ 
				\hline
				$\mathbf{64\times 64} $& $t_\alpha$   \navierOTHER{-4.00}{-2.50}{-2.50}{-4.00}{-1.25}{-4.00}{-4.00}{-2.50}{-2.50}\navierSEPSS{-4.00}{-4.00}{-4.00} \\ 
				& $t_\beta$   \navierOTHER{-3.75}{-3.00}{-3.00}{-4.00}{-0.50}{3.00}{-4.00}{-2.50}{-2.50}\navierSEPSS{0.00}{0.41}{0.29} \\ 
				& IT   \navierOTHER{7}{65}{61}{3}{67}{43}{7}{73}{71}\navierSEPSS{11}{14}{12} \\ 
				&CPU   \navierOTHER{0.23}{1.32}{0.36}{0.15}{1.92}{0.24}{0.19}{1.34}{0.41}\navierSEPSS{0.14}{0.13}{0.12} \\ 
			%	& $E_K$    \navierOTHER{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}\navierSEPSS{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01} \\ 
				& $R_K$   \navierOTHER{7.1e-10}{8.8e-10}{9.7e-10}{1.1e-11}{8.9e-10}{9.9e-10}{3.4e-10}{9.1e-10}{9.3e-10}\navierSEPSS{9.8e-10}{3.3e-10}{8.5e-10} \\ 
				\hline
				$\mathbf{128\times 128} $& $t_\alpha$   \navierOTHER{-4.00}{-2.75}{-2.75}{-4.00}{-1.25}{-4.00}{-4.00}{-2.75}{-3.00}\navierSEPSS{-4.00}{-4.00}{-4.00} \\ 
				& $t_\beta$   \navierOTHER{-4.00}{-3.75}{-3.75}{-3.50}{-1.25}{2.75}{-4.00}{-2.75}{-3.00}\navierSEPSS{0.25}{0.41}{0.41} \\ 
				& IT   \navierOTHER{12}{104}{95}{3}{103}{87}{12}{144}{114}\navierSEPSS{13}{15}{15} \\ 
				&CPU   \navierOTHER{2.01}{12.33}{3.95}{1.05}{13.73}{2.38}{2.33}{14.72}{4.20}\navierSEPSS{0.81}{0.96}{0.86} \\ 
			%	& $E_K$    \navierOTHER{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01}\navierSEPSS{5.7e-01}{5.7e-01}{5.7e-01} \\ 
				& $R_K$   \navierOTHER{6.4e-10}{9.6e-10}{9.5e-10}{1.9e-10}{1.0e-09}{9.9e-10}{6.4e-10}{9.9e-10}{9.3e-10}\navierSEPSS{9.3e-10}{6.4e-10}{6.2e-10} \\ 
				\hline
				$\mathbf{256\times 256} $& $t_\alpha$   \navierOTHER{-4.00}{-3.00}{-3.00}{-4.00}{-1.50}{-1.75}{-4.00}{-3.25}{-3.25}\navierSEPSS{-4.00}{-4.00}{-4.00} \\ 
				& $t_\beta$   \navierOTHER{-4.00}{-4.00}{-4.00}{-3.75}{-1.50}{-0.75}{-4.00}{-3.25}{-3.25}\navierSEPSS{-0.25}{0.41}{0.45} \\ 
				& IT   \navierOTHER{31}{170}{167}{3}{164}{153}{31}{259}{234}\navierSEPSS{14}{19}{19} \\ 
				&CPU   \navierOTHER{11.40}{140.05}{25.45}{10.29}{110.58}{23.76}{11.75}{349.78}{36.75}\navierSEPSS{6.51}{6.94}{6.82} \\ 
			%	& $E_K$    \navierOTHER{5.8e-01}{5.8e-01}{5.8e-01}{5.8e-01}{5.8e-01}{5.8e-01}{5.8e-01}{5.8e-01}{5.8e-01}\navierSEPSS{5.8e-01}{5.8e-01}{5.8e-01} \\ 
				& $R_K$   \navierOTHER{9.0e-10}{9.3e-10}{9.8e-10}{6.8e-10}{9.7e-10}{9.7e-10}{9.0e-10}{9.6e-10}{9.8e-10}\navierSEPSS{6.8e-10}{4.8e-10}{8.8e-10} \\ 
				\hline
			\end{tabu}
		}}
	\end{center}
\end{table}
\end{rawslide}
\begin{rawslide}
\begin{figure}[!htp]
	\begin{center}
		\label{28543}
		\includegraphics[scale=.9]{resources/28543.bmp}
		\caption{
			مقادیر ویژه ماتریس 
			$\mathcal{P}_{\SEPSS}^{-1} \mathcal {A} $  
			برای مسئله نویر- استوکس. }
	\end{center}
\end{figure}
\end{rawslide}
  
\pause
	\begin{theoremblock}{Theorem}
		قضیه
	\end{theoremblock}
	\pause
	\begin{lemmablock}{Lemma}
		لم
	\end{lemmablock}
	\pause
	\begin{remarkblock}{Remark}
		تبصره
	\end{remarkblock}
	\pause
	\begin{propositionblock}{Proposition}
		گزاره
	\end{propositionblock}
	\pause
	\begin{noteblock}{Note}
		نکته
	\end{noteblock}
	\pause
	\begin{algorithmblock}{Algorithm}
		الگوریتم
	\end{algorithmblock}
	\pause
	\begin{corollaryblock}{Corollary}
		نتیجه
	\end{corollaryblock}
	\pause
	\begin{definitionblock}{Definition}
		تعریف
	\end{definitionblock}
	\pause
	\begin{proofblock}{Proof}
		اثبات
	\end{proofblock}
	\pause
 
\begin{rawslide}
\SecSlide{مراجع}
%\begin{block}
	\resetlatinfont
	\scriptsize
	\bibliographystyle{acm-fa}
	\bibliography{MyReferences}
%	\section{مراجع} \label{sec:ref}
%\setmainfont{Times New Roman}
%
%	\begin{large}
%		\begin{enumerate}
%		\bibitem{benzi 200426}
%		M. Benzi, G.H. Golub, A preconditioner for generalized saddle point problems, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 26 (2004), pp. 20-41.
%		\bibitem{arioli 2002}
%		M. Arioli and G. Manzini, A null space algorithm for mixed ﬁnite-element approximations
%		of Darcy’s equation, Comm. Numer. Meth. Engrg., 18 (2002), pp. 645–657.
%		\bibitem{elman 200243}
%		H. C. Elman, Preconditioners for saddle point problems arising in computational ﬂuid dynam-
%		ics, Appl. Numer. Math., 43 (2002), pp. 75–89.
%		\bibitem{elman 200290}
%		H. C. Elman, D. J. Silvester, and A. J. Wathen, Performance and analysis of saddle point
%		preconditioners for the discrete steady-state Navier–Stokes equations, Numer. Math., 90 (2002), pp. 665–688.
%		\bibitem{fortin 1983}
%		M. Fortin and R. Glowinski, Augmented Lagrangian Methods: Application to the Numerical
%		Solution of Boundary-Value Problems, Stud. Math. Appl. 15, North-Holland, Amsterdam,
%		1983.
%		
%		\bibitem{glowinski 1984}
%		R. Glowinski, Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems, Springer-Verlag, New
%		York, 1984.
%		
%		\bibitem{maryska 1995}
%		J. Maryska, M. Rozloznık, and M. Tuma, Mixed-hybrid ﬁnite element approximation of the potential ﬂuid ﬂow problem, J. Comput. Appl. Math., 63 (1995), pp. 383–392.
%		\bibitem{benzi 1993}
%		M. Benzi, Solution of equality-constrained quadratic programming problems by a projection iterative method, Rend. Mat. Appl., 13 (1993), pp. 275–296.
%		\newpage
%		\bibitem{gill 1992}
%		P. E. Gill, W. Murray, D. B. Poncele  on, and M. A. Saunders, Preconditioners for indeﬁ-
%		nite systems arising in optimization, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 13 (1992), pp. 292–311. 
%		\bibitem{gill 1981}
%		P. E. Gill, W. Murray, and M. H. Wright, Practical Optimization, Academic Press, New York, 1981.
%		\bibitem{gould 2001}
%		N. I. M. Gould, M. E. Hribar, and J. Nocedal, On the solution of equality constrained
%		quadratic programming problems arising in optimization, SIAM J. Sci. Comput., 23 (2001),
%		pp. 1376–1395.
%		\bibitem{keller 2000}
%		C. Keller, N. I. M. Gould, and A. J. Wathen, Constraint preconditioning for indeﬁnite
%		linear systems, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 21 (2000), pp. 1300–1317.
%		\bibitem{luksan 1998}
%		L. Luksan and J. Vlcek, Indeﬁnitely preconditioned inexact Newton method for large sparse equality constrained non-linear programming problems, Numer. Linear Algebra Appl., 5 (1998), pp. 219–247.
%		
%		\bibitem{betts 2001}
%		J. T. Betts, Practical Methods for Optimal Control Using Nonlinear Programming, SIAM,
%		Philadelphia, 2001.
%		
%		\bibitem{haws 2002}
%		J. C. Haws, Preconditioning KKT Systems, Ph.D. thesis, Department of Mathematics, North
%		Carolina State University, Raleigh, NC, 2002.
%		
%		\bibitem{bjorck 1996}
%		 A. Bjorck, Numerical Methods for Least Squares Problems, SIAM, Philadelphia, 1996.
%		
%		\bibitem{benzi 2005}
%		M. Benzi, G.H. Golub and J. Liesen, Numerical solution of saddle point problems, Acta Numer.,
%		14 (2005), pp. 1-137.
%		\bibitem{bai 2005102}
%		Z.-Z. Bai, B.N. Parlett and Z.-Q. Wang, On generalized successive overrelaxation methods for
%		augmented linear systems, Numer. Math., 102 (2005), pp. 1-38.
%		\bibitem{bai 2008}
%		Z.-Z. Bai, Z.-Q. Wang, On parameterized inexact Uzawa methods for generalized saddle point problems, Linear Algebra Appl., 428 (2008), pp. 2900-2932.
%		
%		\bibitem{cao 2010}
%		Y. Cao, M.-Q. Jiang and L.-Q. Yao, New choices of preconditioning matrices for generalized
%		inexact parameterized iterative methods, J. Comput. Appl. Math., 235 (2010), pp. 263-269.
%		\bibitem{bai 2009}
%		Z.-Z. Bai, Optimal parameters in the HSS-like methods for saddle point problems, Numer. Linear Algebra Appl., 16 (2009), pp. 447-479.
%		\bibitem{bai 200727}
%		Z.-Z. Bai and G.H. Golub, Accelerated Hermitian and skew-Hermitian splitting iteration methods for saddle-point problems, IMA J. Numer. Anal., 27 (2007), pp. 1-23.
%		\bibitem{bai 200776}
%		Z.-Z. Bai, G.H. Golub, C.-K. Li, Convergence properties of preconditioned Hermitian and skew-Hermitian splitting methods for non-Hermitian positive semideﬁnite matrices, Math. Comput., 76 (2007), pp. 287-298.
%		\bibitem{bai 200498}
%		Z.-Z. Bai, G.H. Golub and J.-Y. Pan, Preconditioned Hermitian and skew-Hermitian splitting
%		methods for non-Hermitian positive semideﬁnite linear systems, Numer. Math., 98 (2004), pp. 1-32.
%		\bibitem{bai 200526}
%		Z.-Z. Bai, M.K. Ng, On inexact preconditioners for nonsymmetric matrices, SIAM J. Sci.
%		Comput., 26 (2005), pp. 1710-1724.
%		\bibitem{cao 2011}
%		Y. Cao, M.-Q. Jiang and Y.-L. Zheng, A splitting preconditioner for saddle point problems, Numer. Linear Algebra Appl., 18 (2011), pp. 875-895.
%		\bibitem{cao 2012}
%		Y. Cao, M.-Q. Jiang and Y.-L. Zheng, A note on the positive stable block triangular preconditioner for generalized saddle point problems, Appl. Math. Comput., 218 (2012), pp. 11075-11082.
%		\bibitem{jiang 2010}
%		M.-Q. Jiang, Y. Cao and L.-Q. Yao, On parameterized block triangular preconditioners for gen-
%		eralized saddle point problems, Appl. Math. Comput., 216 (2010), pp. 1777-1789.	
%		\bibitem{bai 2007}
%		Z.-Z. Bai, G.H. Golub, C.-K. Li, Convergence properties of preconditioned Hermitian and skew-
%		Hermitian splitting methods for non-Hermitian positive semideﬁnite matrices, Math. Comput., 76 (2007), pp. 287-298.
%		\bibitem{benzi 2003}
%		M. Benzi, M.J. Gander and G.H. Golub, Optimization of the Hermitian and skew-Hermitian
%		splitting iteration for saddle-point problems, BIT, 43 (2003), pp.  881-900.
%		\bibitem{simoncini 2007}
%		V. Simoncini , M. Benzi, Spectral properties of the Hermitian and skew-Hermitian splitting
%		preconditioner for saddle point problems, SIAM J. Numer. Anal., 27 (2007), pp. 1-23
%		
%		\bibitem{benzi 201161}
%		M. Benzi, and X.-P. Guo, A dimensional split preconditioner for Stokes and linearized Navier-
%		Stokes equations, Appl. Numer. Math., 61 (2011), pp. 66-76.
%		\bibitem{benzi 2011230}
%		M. Benzi, M.K. Ng, Q. Niu and Z. Wang, A relaxed dimensional fractorization preconditioner for the incompressible Navier-Stokes equations, J. Comput. Phys., 230 (2011), pp. 6185-6202.
%		
%		\bibitem{cao 2013}
%		Y. Cao, L.Yao, M. Jiang, Q. Niu, A Relaxed HSS Preconditioner for saddle point problems from meshfree discretization, J. Comput. Appl. Math., 21 (2013), pp. 398–421.
%	
%		\bibitem{huang 2009}
%		T.Z. Huang, S.L. Wu and C.X. Li, The spectral properties of the Hermitian and skew-Hermitian splitting preconditioner for generalized saddle point problems.
%		J. Comput. Appl. Math., 229 (2009), pp. 37-46.
%		\bibitem{zhang 2014}
%		J.L. Zhang,  C.Q. Gu, K. Zhang, A relaxed positive-deﬁnite and skew-Hermitian splitting
%		preconditioner for saddle point problems, Appl. Math.   Comput., 249 (2014), pp. 468-479.
%		\bibitem{salkuyeh}
%		D. salkuyeh, M.Masoudi, D. Hezari, On the generalized shift-splitting preconditioner for saddle
%		point problems, Applied Mathematics Letters 48 (2015) 55–61.
%		\bibitem{ifiss}
%		H.C. Elman, A. Ramage, D.J. Silvester, IFISS: A Matlab toolbox for modelling incompressible flow, ACM Trans. Math.
%		\end{enumerate}
%	\end{large}
%\end{block}
\end{rawslide}
 

