\chapter{ نتایجی در روش‌های تکراری برای حل دستگاه معادلات خطی}
دستگاه معادلات خطی  
\begin{equation}
\label{system}  
\mathbf {A}\mathbf u =  \mathbf b,
\end{equation}
را در نظر بگیرید که در آن  
$ \mathbf A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ و $\mathbf b\in \mathbb{C}^{ n}$. 
 در این فصل همواره فرض می‌کنیم ماتریس
$\mathbf{ A}$
یک ماتریس معین مثبت غیرهرمیتی، تنک و از ابعاد بزرگ است.  
همانگونه در فصل پیش ذکر شد،  برای   حل چنین  دستگاه‌هایی استفاده از  روش‌های تکراری پیشنهاد می‌شود. بنابراین  در ابتدا روش تکراری
 \gls{pss}
 را برای حل   دستگاه  \eqref{system} معرفی می‌کنیم و سپس  حالت‌های خاصی از این روش و همچنین تعمیمی از آن را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.  
\section{روش شکافت معین مثبت و پادهرمیتی
(\gls*{pss})
} 

فرض کنید 
$\mathbf{S}$ 
یک ماتریس
 \gls{skher}
  دلخواه باشد.  چون  
$\mathbf{ A}$
یک ماتریس 
\gls{pd}
است، پس  
$\mathbf{P}\equiv \mathbf{A}-\mathbf{S}$
نیز یک ماتریس \gls{pd} است. 
در نتیجه   ماتریس 
$\mathbf{A}$
دارای شکافت  معین مثبت و پادهرمیتی به صورت 
\begin{align}
\label{spss}
\mathbf A =\mathbf P+\mathbf S,  ~~\text{معین مثبت}~\mathbf{P} ,~~~~  \mathbf S^*=-\mathbf S,
\end{align}
می‌باشد.
به ازای 
$\alpha>0$،
  دو 
شکافت را  برای  ماتریس 
$\mathbf{A}$،
متناظر با ماتریس 
$\mathbf{S}$،  
به صورت 
\begin{align*}
\mathbf{A} &= ({\alpha \mathbf I}+ {\mathbf P}  ) -  (\alpha \mathbf I - \mathbf S)\\
&= (\alpha \mathbf I +  \mathbf S) -  (\alpha \mathbf I - {\mathbf P} ),
\end{align*}
در نظر می‌گیریم. دنباله تکراری 
\begin{align}
\begin{cases}
\label{iterpss}
(\alpha \mathbf I +\mathbf P  )  \mathbf {u}^{(k+\frac{1}{2})}= ( \alpha \mathbf I - {\mathbf S}  )   \mathbf{u}^{(k)}+ \mathbf{b}, \\
(\alpha \mathbf I+ {\mathbf S}  ) \mathbf {u}^{(k+1)}=  (\alpha \mathbf I - \mathbf P  )  \mathbf {u}^{(k+\frac{1}{2})} + \mathbf{b},
\end{cases}
\end{align}
را به ازای بردار دلخواه
$\mathbf u^{(0)}$
 تولید می‌کنیم. با توجه به این که ماتریس‌های  $\alpha \mathbf I +  {\mathbf P}  $   و $\alpha \mathbf I +  {\mathbf S}  $  ماتریس‌های نامنفرد هستند، دستگاه‌های بالا دارای جواب یکتا می‌باشند.
در هر مرحله از روند \gls{pss}، جواب هر یک از دستگاه‌ها را با استفاده از روش‌های مستقیم مانند تجزیه‌ی 
$\LU$ 
به‌دست می‌آوریم. 
در گام اول از
$\mathbf u^{(0)}$
به عنوان حدس اولیه برای دستگاه اول استفاده کرده،
سپس تقریب حاصل از این دستگاه را در دستگاه دوم به عنوان حدس اولیه
به‌کار می‌بریم و در نهایت تقریب به‌دست آمده از دستگاه دوم را، در گام بعد به عنوان جواب اولیه استفاده می‌کنیم. با به دست آوردن بردار 
$\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}$ 
از معادله اول و جایگذاری آن در معادله دوم، داریم
\begin{align}
\label{ipss}
\mathbf {u}^{(k+1)}&=\mathbf{G}_{\PSS} (\alpha) \mathbf{u}^{(k)}+ {\mathbf c},\nonumber\\
\mathbf{G}_{\PSS}(\alpha)&=( \alpha \mathbf I +  {\mathbf P}   )^{-1}  ( \alpha \mathbf I  - \mathbf  S  ) ( \alpha \mathbf I +\mathbf  S  )^{-1}  ( \alpha \mathbf I - {\mathbf P}   ) ,
\end{align}
 که در آن 
$ \mathbf{c}=2  \alpha  ( \alpha \mathbf I + \mathbf  P  )^{-1}  ( \alpha \mathbf I +  {\mathbf S}    )^{-1}  \mathbf{b}$. 
این روش تکراری روش تجزیه‌ی معین مثبت و پادهرمیتی وابسته به شکافت 
\eqref{spss}
%\LTRfootnote{Positive definite and skew-Hermitian splitting}
نامیده می‌شود. 
با توجه به ضریب 
بردار 
$\mathbf b$ 
در 
$\mathbf c$
به راحتی می‌توان دید که این روش دارای شکافتی به صورت  $\mathbf{A}={\mathbf{M}}-{\mathbf{N}}$ است که در آن 
\begin{align}
\label{MNpss}
{ \mathbf{M}}= \frac{1}{2\alpha}  ( \alpha \mathbf I + {\mathbf S}  ) ( \alpha \mathbf I + \mathbf  P  ), ~~
{\mathbf N}={\mathbf A}-{\mathbf M}=\frac{1}{2\alpha}  (\alpha \mathbf I - {\mathbf S}  ) ( \alpha \mathbf I -\mathbf P  ).
\end{align}
در ادامه همگرایی این  روش را مورد مطالعه قرار می‌دهیم. 
\begin{lemma}
	\cite[لم 2.1]{bai262005}
	فرض کنید 
	\begin{align}
	\label{va}
	V(\alpha)=\norm{( \alpha \mathbf I -{\mathbf P}  ) ( \alpha \mathbf I + \mathbf  P  )^{-1}}.
	\end{align}
	اگر ماتریس 
	$\mathbf P$
	یک ماتریس \gls{pd} باشد، آنگاه به ازای هر
	$\alpha>0$، 
	\[V(\alpha)<1.\]
\end{lemma}
چون  
$\mathbf{S}$
ماتریسی \gls{skher} است،  
بنابراین 
$ ( \alpha \mathbf I -{\mathbf S}  )(\alpha \mathbf I +\mathbf S  )^{-1}  $
ماتریسی \gls{uni} است. لذا 
$$\norm{( \alpha \mathbf I -{\mathbf S}  )(\alpha \mathbf I +\mathbf S  )^{-1}}=1$$
و در نتیجه قضیه‌ی بعدی را داریم.
\begin{theorem}
	\label{convpss}
	\cite[قضیه 2.3]{bai262005}
	فرض کنید 
	$\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n\times n}$
	یک ماتریس \gls{pd} و دارای شکافتی به صورت   
	\eqref{spss}	
	و 
	$V(\alpha)$ 	
	ماتریس تعریف شده در 
	\eqref{va}
	باشد. در این صورت 
	$V(\alpha)$ 	 
	یک  کران بالا برای 
	$\rho(\mathbf{G}_{\PSS}(\alpha))$ 
	است و بنابراین 
	\begin{align*}
	\rho(\mathbf{G}_{\PSS}(\alpha)) \leq V(\alpha) <1, ~~~~\alpha>0.
	\end{align*}
	این بدین معنی است که روش  
	\gls{pss} 
به ازای هر حدس اولیه‌ی دلخواه	به جواب دستگاه معادلات 
	\eqref{system}
	همگراست. 
\end{theorem}
توجه داشته باشید که در حالت کلی در   روش
	\gls{pss}،
نمی‌توان مقداری را برای پارامتر
$\alpha$
ارائه کرد که توسط آن کران بالای شعاع طیفی ماتریس تکرار،
یعنی مقدار 
$V(\alpha)$، 
مینیمم شود که این امر یکی از معایب این روش می‌باشد. 
از طرفی در هر گام باید دو زیر دستگاه با ماتریس ضرایب 
$\alpha \mathbf I + {\mathbf P}$ و 
$\alpha \mathbf I + {\mathbf  S}$، 
توسط  روش‌های مستقیم، مانند تجزیه‌ی 
$\LU$
یا تجزیه‌ی چولسکی 
حل شوند  که برای مسائل با ابعاد بزرگ  نیاز  به حافظه‌ی ذخیره‌سازی زیادی دارند (البته توجه داشته باشید که برای کاهش   هزینه‌ی محاسبات می‌توان از تجزیه‌ی $\LU$ یا چولسکی
با ترکیب  
	\gls{amd}
یا 
	\gls{symamd}
استفاده نمود). 
برای   رفع  مشکلات بالا، نسخه‌های مختلفی از روش 
$\PSS$
وجود دارد. 
برای به‌دست آوردن مقدار 
$\alpha$ 
که مقدار کران بالای شعاع طیفی را مینیمم کند، می‌توان ماتریس
$\mathbf{S}$
را به گونه‌ای یافت که ماتریس 
$\mathbf{P}$
متناظر با آن، ماتریسی هرمیتی  یا   نرمال شود. اما برای ساده‌سازی حل زیر دستگاه‌ها، می‌توان ماتریس 
$\mathbf{S}$
را به گونه‌ای در نظر گرفت که ماتریس
$\mathbf{P}$
یک ماتریس مثلثی یا مثلثی‌بلوکی گردد و در نهایت برای کاهش میزان حافظه‌ی ذخیره‌سازی،  می‌توان  زیر دستگاه‌ها را با استفاده از روش‌های تکراری مانند  روش‌های 
\gls{krysub}
حل نمود. 
در این فصل نمونه‌های مختلفی از ماتریس
$\mathbf{S}$ 
را مورد بررسی قرار می‌دهیم و با استفاده از شکافت متناظر با آن 
%برای ماتریس
% $\mathbf{A}$ 
در
\eqref{spss}،
روش‌های تکراری مختلفی را که برای حل   دستگاه  
\eqref{system} 
وجود دارند،  معرفی می‌کنیم.  سپس  تعمیمی از روش  
$\PSS$
را برای حل این دستگاه، ارائه می‌دهیم. در نهایت با یک مثال، به بررسی تاثیر این روش نسبت به برخی از   روش‌های  ارائه شده می‌پردازیم.

\section{	روش  $\rm PSS$    ناقص     
	(\gls*{ipss})
}
\label{secIEPSS}

همان‌طور که بیان شد، در هر گام از روش 
$\PSS$،
باید دو زیر دستگاه با استفاده از روش‌های مستقیم با ماتریس ضرایب 
$\alpha \mathbf{I}+{\mathbf P}$ و
$\alpha \mathbf{I} +\mathbf{S}$
حل شوند  که در مسائل با ابعاد بزرگ، هم از نظر میزان حافظه‌ی ذخیره‌سازی و هم از نظر میزان محاسبات، بسیار پرهزینه خواهند بود. لذا به منظور افزایش کارایی این روش،  
می‌توانیم زیر دستگاه‌ها را  به صورت نادقیق و   با استفاده از  روش‌های تکراری،  مانند  روش‌های \gls{krysub}  حل کنیم. این روش، روش
\gls{ipss}
نامیده می‌شود. فرض کنید 
\[
\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{u}^{(k)}+\mathbf{z}^{(k)},
\]
که   با جایگذاری در معادله‌ی اول در \eqref{iterpss} داریم  
\begin{align*} 
(\alpha \mathbf I+{\mathbf P}) \mathbf{z}^{(k)}&=(\alpha I+{\mathbf P})(\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})} -  {\mathbf{u}^{(k)}})\nonumber\\
&= ( \alpha \mathbf I - {\mathbf S}  )   \mathbf{u}^{(k)}+ \mathbf{b}-(\alpha \mathbf I+{\mathbf P})  {\mathbf{u}^{(k)}}
\\
&=\mathbf{b}-(\mathbf{P}+\mathbf{S})\mathbf{u}^{(k)}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{u}^{(k)}=\mathbf{r}^{(k)}.
\end{align*}
پس مقدار 
$\mathbf{z}^{(k)}$  
از حل دستگاه
\begin{align}\label{res1}
(\alpha \mathbf I+{\mathbf P}) \mathbf{z}^{(k)}=\mathbf{r}^{(k)},
\end{align}
   حاصل می‌شود. سپس 
 
\[
\mathbf{u}^{(k+1)}=\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}+\mathbf{z}^{(k+\frac{1}{2})},
\]
که در آن $\mathbf{z}^{(k+\frac{1}{2})}$، به طور مشابه  با جایگذاری در رابطه‌ی دوم در  \eqref{iterpss} و  از حل دستگاه 
\begin{equation}\label{res2}
(\alpha I +\mathbf{S})\mathbf{z}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{r}^{(k+\frac{1}{2})},
\end{equation}
حاصل می‌شود.
در روش 
\gls{ipss}،
دستگاه‌های  (\ref{res1})    و  (\ref{res2})   را با روش‌های  \gls{krysub} به‌صورت ناقص حل می‌کنیم.  
در نتیجه  الگوریتم
\ref{algoritmIPSS}
برای این روش به دست می‌آید.  
\begin{algorithm}	
	\caption{\rl{ روش تکراری
			\gls*{pss}
			ناقص  
			(\gls*{ipss})   }
	}
	\label{algoritmIPSS}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item حدس اولیه‌ی $\mathbf{u}^{(0)}$  را انتخاب کنید. 
		\item  به ازای  
		$k=0,1,2,\ldots$ 
		تا زمان همگرایی  انجام دهید: 
		\begin{enumerate}
		\item   قرار دهید   $\mathbf{r}^{(k)}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{u}^{(k)}$. 
		\item      جواب تقریبی دستگاه 
		$(\alpha \mathbf I+\hat{\mathbf P}) \mathbf{z}^{(k)}=\mathbf{r}^{(k)}$
		را با استفاده از روش‌های  \gls{krysub} به گونه‌ای محاسبه کنید تا شرط  
		$\norm{\mathbf{r}^{(k)}-(\alpha \mathbf I+\hat{\mathbf P}) \bar{\mathbf{z}}^{(k)}}|\leqslant \epsilon_k \norm{\mathbf{r}^{(k)}}$ برقرار شود, 
		که در آن 
		$\epsilon_k$ 
		خطای مجاز است. 	
		\item قرار دهید  $\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{u}^{(k)}+\bar{\mathbf{z}}^{(k)}$.  
		\item  دستگاه  $\mathbf{r}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}$
		را حل کنید. 
		\item جواب تقریبی دستگاه  
		$(\alpha \mathbf I +\mathbf{S})\mathbf{z}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{r}^{(k+\frac{1}{2})}$
		را با استفاده از روش‌های  \gls{krysub} به گونه‌ای محاسبه کنید  تا شرط 
		$\norm{\mathbf{r}^{(k+\frac{1}{2})}-(\alpha \mathbf I +\mathbf{S})\bar{\mathbf{z}}^{(k+\frac{1}{2})}}\leqslant \eta_k\norm{ \mathbf{r}^{(k+\frac{1}{2})}}$ برقرار شود,
		 که در آن
		$\eta_k$
		مقدار خطای مجاز است.
		\item    $\mathbf{u}^{(k+1)}:=\mathbf{u}^{(k)}+\bar{\mathbf{z}}^{(k+\frac{1}{2})}$. 
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{algorithm}
\section{روش شکافت انتقال
	(\gls*{ss})  }
دستگاه معادلات خطی 
\eqref{system} 
را در نظر بگیرید و فرض کنید 
$\mathcal{S}=0$.
شکافت متناظر با این انتخاب 
$\mathbf{S}$ 
در رابطه‌ی 
\eqref{MNpss}،
تجزیه‌ی
 \gls{ss}
ماتریس 
$\mathbf A$ 
نامیده می‌شود که به صورت
\begin{align}
\label{sss}
\mathbf{ A}=\mathbf{ M}-\mathbf{N}=\frac{1}{2}(\alpha \mathbf I +\mathbf A )-\frac{1}{2}(\alpha \mathbf I -\mathbf A ),
\end{align}
می‌باشد  که در آن 
$\alpha>0$ 
و 
$\mathbf I$
ماتریس همانی است. بنابراین، 
روش تکراری متناظر با این روش به صورت 
\begin{align}
\label{iss}  
(\alpha  \mathbf{I}+\mathbf{A})	\mathbf u^{(k+1)}= (\alpha  \mathbf{I}-\mathbf{A}) \mathbf{u}^{(k)}+ 2\mathbf{b}, ~~~k=1,2,\cdots,
\end{align}
و ماتریس تکرار آن برابر
$\mathbf{G}_{SS}(\alpha)=(\alpha  \mathbf{I}+\mathbf{A})^{-1}(\alpha  \mathbf{I}-\mathbf{A})$
خواهد بود. این روش اولین بار توسط بای در 
\cite{bai262005} 
معرفی شده است. 
قضیه‌ی زیر همگرایی این روش را نشان می‌دهد.
\begin{theorem}
	\cite[قضیه 2.2]{bai242006}
	\label{convss}
	فرض کنید 
	$\mathbf{ A}$
	یک ماتریس معین مثبت غیر هرمیتی،  
	$\mathbf {A}_H=\frac{1}{2}(\mathbf{A}+\mathbf{A}^*)$،
	کران پایین مقادیر ویژه‌ی ماتریس هرمیتی
	$\mathbf {A}_H$
	برابر با 
	$\beta_l (\mathbf {A}_H)$
	و
	$\alpha$
	یک عدد مثبت باشد.  در این صورت، 
	\begin{align*}
	\rho(\mathbf{G}_{SS}(\alpha))\leq \delta(\alpha)=\sqrt{\frac{\alpha^2-2 \alpha \beta_l (\mathbf {A}_H) +\norm{A}^2}{\alpha^2+2 \alpha \beta_l (\mathbf {A}_H) +\norm{A}^2}},
	\end{align*}
	که به ازای 
	$\alpha=\norm{A}$ 
	کران بالای  
	$\delta(\alpha)$
	به مینیمم مقدار خود که برابر 
	$\sqrt{\frac{\norm{A}- \beta_l (\mathbf {A}_H)}{\norm{A}+ \beta_l (\mathbf {A}_H) }}$
	است، می‌رسد.  
\end{theorem}
چون ماتریس 
$\mathbf {A}_H$
یک ماتریس معین مثبت است، قضیه‌ی 
\ref{convss}
نشان می‌دهد که روش انتقال شکافت به ازای هر مقدار مثبت 
$\alpha$
همگراست. 
علاوه بر آن  می‌توان از ماتریس 
$\mathfrak{P}=2 \mathbf{M}=\alpha  \mathbf{I}+\mathbf{A}$
بعنوان پیش‌شرط‌ساز برای حل دستگاه‌ 
\eqref{system}
استفاده‌ کرد. 
\section{روش  شکافت هرمیتی و پادهرمیتی 
	(\gls*{hss})}
فرض کنید  
$\mathbf{S}=\frac{1}{2}(\mathbf A-\mathbf A^*)$.
در اینصورت 
$\mathbf{A}_H= \mathbf{A}-\mathbf{S}=\frac{1}{2}(\mathbf A+\mathbf A^*)$
یک ماتریس معین مثبت هرمیتی   است.  شکافت متناظر با این روش، شکافت معین مثبت هرمیتی و پادهرمیتی
\LTRfootnote{Hermitian and skew-Hermitian splitting}
ماتریس 
$\mathbf{A}$
نامیده می‌‌شود. لذا 
\begin{align}
\label{shss}
\mathbf A =\mathbf A_H+\mathbf S, ~ ~~\mathbf A_H^*= \mathbf A_H,~~~ \mathbf S^*=-\mathbf S.
\end{align}
به ازای
$\alpha>0$  
شکافت‌های  
\begin{align*}
\mathbf{A} &= (\alpha \mathbf I +  \mathbf S) -  (\alpha \mathbf I - {\mathbf A_H} )\\
&=  ({\alpha \mathbf I}+ {\mathbf A_H}  ) -  (\alpha \mathbf I - \mathbf S),
\end{align*}
را برای ماتریس 
$\mathbf{A}$
در نظر می‌گیریم و با استفاده از آنها  دنباله تکراری 
\begin{align*}%\label{seq}
\begin{cases}
(\alpha \mathbf I +\mathbf S  )\mathbf {u}^{(k+\frac{1}{2})}=  ( \alpha \mathbf I - {\mathbf A_H}  )   \mathbf{u}^{(k)}+ \mathbf{b}, 	\\
(\alpha \mathbf I+ {\mathbf A_H}  )  \mathbf{u}^{(k+1)}= (\alpha \mathbf I - \mathbf S  )   \mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}+ \mathbf{b},
\end{cases}
\end{align*}
را به ازای
$\mathbf u^{(0)}$
دلخواه می‌سازیم.
در این صورت، 
\begin{align}
\label{ihss}
\mathbf{u}^{(k+1)}&=\mathbf{G}_{\HSS} (\alpha) \mathbf{u}^{(k)}+ \mathbf{c},\\
%\label{gama}
\mathbf{G}_{\HSS}(\alpha) &= ( \alpha \mathbf I +  {\mathbf A_H}   )^{-1}  ( \alpha \mathbf I  - \mathbf  S  )( \alpha \mathbf I +\mathbf  S  )^{-1}  ( \alpha \mathbf I - {\mathbf A_H}   ) ,\nonumber
\end{align}
 که در آن 
$ \mathbf{c}=2 \alpha ( \alpha \mathbf I + \mathbf  A_H  )^{-1} ( \alpha \mathbf I +  {\mathbf S}    )^{-1}  \mathbf{b}$. 
به راحتی می‌توان دید که این روش دارای شکافتی به صورت  $\mathbf{A}={\mathbf{M}}-{\mathbf{N}}$ است که در آن 
\begin{align}
\label{MNhss}
{ \mathbf{M}}= \frac{1}{2\alpha}  ( \alpha \mathbf I + \mathbf  S  )( \alpha \mathbf I + {\mathbf A_H}  )  , ~~
{\mathbf N}=\mathbf{A} - \mathbf{M} =\frac{1}{2\alpha}  ( \alpha \mathbf I -\mathbf S  )(\alpha \mathbf I - {\mathbf A_H}  ).
\end{align}
برای بکارگیری روش 
$\HSS$
در هر گام باید دو زیر دستگاه با ماتریس ضرایب 
$\alpha \mathbf I + {\mathbf A}_H$ و 
$\alpha \mathbf I + {\mathbf  S}$ 
حل شوند. 
برای حل زیردستگاه با ماتریس ضرایب ماتریس هرمیتی
$\alpha \mathbf I + {\mathbf A_H}$،
می‌توان از روش 
$\CG $
یا 
$\CG $
 با پیش‌شرط‌ساز مناسب  به همراه 
$\SYMAMD$
و برای حل زیردستگاه با ماتریس ضرایب 
$\alpha \mathbf I + {\mathbf  S}$،
از روش‌های  \gls{krysub} مانند 
$\GMRES$
استفاده نمود.  قضیه‌ی زیر همگرایی این روش را نشان می‌دهد.
\begin{theorem}
	\label{boundhss}
	\cite[قضیه 2.2]{bai242003}
	فرض کنید 
	$\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n\times n}$
	یک ماتریس معین مثبت،  
	$\mathbf{A}_H=\frac{1}{2}(\mathbf{A}+\mathbf{A}^*)$
	قسمت   هرمیتی
	و
	$\mathbf{S}=\frac{1}{2}(\mathbf{A}-\mathbf{A}^*)$
	قسمت  پادهرمیتی ماتریس 
	$\mathbf{A}$ 
	باشند. در این صورت، به ازای هر $\alpha>0$،  تابع  
	$$\delta(\alpha)=\max_{\lambda_i \in \sigma(\mathbf{A}_H)}\left| \frac{\alpha-\lambda_i}{\alpha+\lambda_i}\right|,$$
	یک کران بالای شعاع طیفی ماتریس تکرار روش 
	$\HSS$
	است. بنابراین 
	\begin{align}
	\rho(\mathbf{G}_{\HSS}(\alpha))\leq \delta(\alpha) <1, ~~~ \forall \alpha>0.
	\end{align}
\end{theorem}
بعلاوه اگر 
$\lambda_{\min}$ 
و
$\lambda_{\max}$
به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقدار ویژه ماتریس 
$\mathbf A_H$
باشند، آنگاه 
\begin{align}
\label{alphahss}
\alpha_*\equiv \argmin_\alpha \max _ {\lambda_{\min} \leq \lambda \leq \lambda_{\max} } \left| \frac{\alpha-\lambda}{\alpha+\lambda}\right| =\sqrt{\lambda_{\min} \lambda_{\max}},
\end{align}
که به ازای آن 
\begin{align}
\delta(\alpha_*)= \frac{\sqrt{\lambda_{\max}}- \sqrt{\lambda_{\min}}   }{\sqrt{\lambda_{\max}}+ \sqrt{\lambda_{\min}}   }=\frac{\sqrt{\cond(\mathbf{A}_H)}- 1   }{\sqrt{\cond(\mathbf{A}_H)}+ 1   },
\end{align}
که در آن
 ${\cond(\mathbf{A}_H)}$ عدد شرطی ماتریس
${\mathbf{A}_H}$ 
است. قضیه 
\ref{boundhss}
 نشان می‌دهد که  دنباله‌ی تولید شده توسط روش تکراری
$\HSS$
در  
\eqref{ihss}،
به ازای هر
$\alpha>0$، 
به جواب دستگاه 
\eqref{system}
همگراست  و سرعت همگرایی این روش وابسته به قسمت هرمیتی ماتریس 
$\mathbf{A}$
می‌باشد و به قسمت پادهرمیتی خود بستگی ندارد. دقت کنید که 
$\alpha_*$ 
یک کران بالا از شعاع طیفی ماتریس تکرار را مینیمم می‌کند و خود شعاع طیفی ماتریس تکرار را مینیمم نمی‌نماید. 
\section{روش شکافت  مثلثی‌بلوکی  و پادهرمیتی (\gls*{btss})}
اکنون فرض کنید 
\begin{align}
\label{dbtss}
\mathbf A=\mathbf {BD} +\mathbf {BL} +\mathbf {BU}و
\end{align}
  که در آن 
$\mathbf {BD}$،
$\mathbf {BL}$ 
و 
$\mathbf {BU}$ 
به ترتیب بلوک‌های قطری، پایین‌مثلثی  و بالا‌مثلثی از ماتریس 
$\mathbf A$
هستند.  
فرض کنید 
\begin{align}
\label{sbtss}
\mathbf{S}= \mathbf {BD}-\mathbf {BD}_H+\mathbf {BU}-\mathbf {BU}^*,~~
\mathbf{P}=\mathbf{A} -\mathbf{S},%=\mathbf{BD}_H+\mathbf{BL}+\mathbf{BU}^* 
\end{align}
که در آن $\mathbf{BD}_H=\frac{1}{2} (\mathbf {BD}+\mathbf {BD}^*)$. واضح است که 
$\mathbf{S}$ 
یک  ماتریس‌  پادهرمیتی و
$\mathbf{P}$
یک  ماتریس پایین‌مثلثی‌بلوکی و معین مثبت است   (توجه داشته باشید که می توان ماتریس 
$\mathbf{S}$
را به گونه‌ای به دست آورد  که 
$\mathbf{P}$
یک ماتریس بالامثلثی‌بلوکی  و معین مثبت شود).
شکافت متناظر با این مقدار 
$\mathbf{S}$
را 
\gls{btss}
می‌نامیم.  به ازای هر 
$\alpha>0$
روش تکراری متناظر با این شکافت را روش 
\gls{btss}
و ماتریس تکرار آن را با 
$\mathbf{G}_{\BTSS}(\alpha)$
نشان می‌دهیم.  بنا به قضیه 
\ref{convpss}، 
این روش بدون هیچ محدودیتی بر روی 
$\alpha$
همگراست.
واضح است که اگر 
$\mathbf{BD}=\mathbf{A}$
باشد،   روش تکراری تولید شده با روش 
$\HSS$
 متناظر می‌شود. از آنجایی که  ماتریس 
$\mathbf{P}$
در روش 
$\BTSS$
یک ماتریس پایین‌مثلثی‌بلوکی است، حل زیر دستگاه 
$\alpha I+\mathbf{P}$،
به راحتی و با استفاده از جایگذاری پیشرو  انجام می‌پذیرد. همچنین داریم 
(ببینید
\cite{bai262005})   
\begin{align*}
\rho(  \mathbf{G}_{\BTSS}(\alpha))& \leq \norm{ \mathbf{G}_{\BTSS}(\alpha)} 
=    \norm{ (\alpha \mathbf I-\mathbf { P}) (\alpha \mathbf I+\mathbf { P})^{-1} }\\
&\approx \norm{ (\alpha \mathbf I- {\mathbf {BD}}_H ) (\alpha \mathbf I+\mathbf {BD}_H)^{-1} }.
\end{align*}
چون  $\mathbf {BD}_H $ یک ماتریس هرمیتی است، داریم 
\begin{align}
\label{alphabtss}
\alpha_*&= \argmin_{\alpha>0} \rho(  \mathbf{G}_{\BTSS}(\alpha))   \approx 
\argmin_{\alpha>0} \norm{ (\alpha \mathbf I- {\mathbf {BD}}_H ) (\alpha \mathbf I+\mathbf {BD}_H)^{-1} }\nonumber\\
& =\argmin_{\alpha>0}   \max_{  \mu \in \sigma(\mathbf {BD} _H )}\left|\frac{\alpha -  \mu  }{\alpha +   \mu} \right| =\sqrt{\mu_{\max} \mu_{\min}},
\end{align}
که در آن 
$\mu_{\max}$ و 
$ \mu_{\min} $
به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقدار ویژه‌ی ماتریس 
$\mathbf {BD} _H$
می‌باشند. بنابراین برای  این روش  مقدار 
$\alpha_*=\sqrt{\mu_{\max} \mu_{\min}}$
پیشنهاد می‌شود.  بعلاوه در اینجا می‌توان دید که در روش 
$\HSS$ 
مقدار این پارامتر برابر  
$\alpha_*=\sqrt{\mu_{\max} \mu_{\min}}$
خواهد بود که در آن 
که در آن 
$\mu_{\max}$ و 
$ \mu_{\min} $
به ترتیب بزرگترین و کوچکترین مقدار ویژه ماتریس 
$\mathbf {BD} _H=\frac{1}{2}(\mathbf{A}+\mathbf{A}^*)=\mathbf{A}_H$
می‌باشند که همان مقدار پیشنهادی مقدار  
$\alpha$
برای  روش 
$\HSS$ 
در 
\eqref{alphahss}
است. 



\section{روش شکافت   مثلثی و پادهرمیتی (\gls*{tss})}
فرض کنید 
$\mathbf{D}$
قطر ماتریس
$\mathbf{A}$ 
باشد. اگر در روش
$\BTSS$،  
$\mathbf{BD}=\mathbf{D}$
در نظر گرفته شود، آنگاه
\begin{align}
\label{stss}
\mathbf{S}=\frac{1}{2} (\mathbf {D}-\mathbf {D}^*)+\mathbf {U}-\mathbf {U}^*,~~ \mathbf{P}=\mathbf D_H+\mathbf{L}+\mathbf{U}^*,
\end{align}
به طوری که 
$\mathbf D_H=\frac{1}{2} (\mathbf {D}+\mathbf {D}^*)$  
و  ماتریس‌های
$ \mathbf{L} $
و 
$ \mathbf{U} $
به ترتیب   قسمت‌های پایین‌مثلثی اکید و بالا‌مثلثی  اکید  از ماتریس 
$\mathbf{A}$
هستند.
در این صورت  روش تولید شده توسط این شکافت  را روش 
\gls{tss}
و ماتریس تکرار آن را با 
$\mathbf{G}_{\TSS}(\alpha)$
نشان می‌دهیم (\cite{bai262005}
را ببینید). 
بنا به  
\eqref{alphabtss}
در  روش 
$\TSS$
مقدار پیشنهادی 
$\alpha$
برابر 
$\alpha_*=\sqrt{d_{\max} d_{\min}}$
خواهد بود که در آن 
$d_{\max}$
و 
$d_{\min}$
به ترتیب کوچکترین و بزرگترین عنصر روی قطر ماتریس 
$\mathbf D_H=\frac{1}{2}(\mathbf D+\mathbf D^*)$
هستند.

\section{روش  شکافت  نرمال و پادهرمیتی	(\gls*{nss})  }
فرض کنید 
$\mathbf{S}$ 
به  گونه‌ای انتخاب شود که  
$\mathbf{P}$
یک ماتریس نرمال شود. روش تکراری وابسته به چنین شکافتی   را روش 
\gls{nss}
می‌نامیم و ماتریس تکرار این روش را با 
$\mathbf{G}_{\NSS}(\alpha)$
نشان می‌دهیم. چون 
$\mathbf{P}$
نرمال است،  ماتریس‌های  یکانی 
$\mathbf U $
و قطری 
$\Lambda$
وجود دارند به گونه‌ای که 
$\mathbf {  P}=\mathbf U \Lambda \mathbf U^*$ 
که در آن 
$\Lambda=\diag(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$.
بنابراین 
\begin{align*}
\rho(\mathbf{G}_{\NSS}(\alpha))& \leq \norm{\mathbf{G}_{\NSS}(\alpha)} =  \norm{(\alpha \mathbf I+\mathbf {  S})^{-1} (\alpha \mathbf I- \mathbf {  S})  (\alpha \mathbf I-\mathbf {  P}) (\alpha \mathbf I+\mathbf {  P})^{-1}}\\
&=
\norm{  (\alpha \mathbf I-\mathbf {  P}) (\alpha \mathbf I+\mathbf {  P})^{-1}}\
=\max_{  \mu_i  \in \sigma(\mathbf {  P})}  \left|\frac{\alpha-  \mu_i }{\alpha+  \mu_i  }\right| \\
&=
\begin{cases} 
\max \left \{ \frac{(\alpha-  \gamma_{\max})^2+  \eta_{\max}^2}{(\alpha+ \gamma_{\max})^2+  \eta_{\max}^2 },
~~\frac{(\alpha-  \gamma_{\min})^2+  \eta_{\max}^2}{(\alpha+ \gamma_{\min})^2+  \eta_{\max}^2 }  \right\}, 
~~ \text{}~~ \eta_{\max} <\sqrt{\gamma_{\min} \gamma_{\max}},\\
\frac{(\alpha-  \gamma_{\max})^2+  \eta_{\max}^2}{(\alpha+ \gamma_{\max})^2+  \eta_{\max}^2 }, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \text{}~~ \eta_{\max} \geq \sqrt{\gamma_{\min} \gamma_{\max}},
\end{cases}
\end{align*}
که  در آن 
$\gamma_{\min}$ 
و
$\gamma_{\max}$
به ترتیب کران‌های پایین و بالای  قسمت‌  حقیقی مقادیر ویژه‌ی ماتریس 
$\mathbf{\bar P}$
هستند  و \linebreak
$\eta_{\max}=\max\{|\Im(\lambda)|:\lambda \in \sigma(\mathbf{\bar P})\}$ (\cite{bai142007} را ببینید).
از این رو 
%	\cite{bai142007}
\begin{align*}  
\alpha_{*}=\argmin_{ \alpha>0} \delta(\alpha) = \begin{cases}
\sqrt{\gamma_{\min} \gamma_{\max}-\eta_{\max}^2}, \text{~~~~ ~~~~ }\eta_{\max} <\sqrt{\gamma_{\max} \gamma_{\min}},\\
\sqrt{\gamma_{\min}^2+\eta_{\max}^2}, \text{~~~~~ ~~~~~~ ~~~~ }\eta_{\max} \geqslant\sqrt{\gamma_{\max} \gamma_{\min}}. 	
\end{cases}
\end{align*}
به ویژه اگر 
${\mathbf{P}}$ 
یک ماتریس معین مثبت هرمیتی باشد، آنگاه 
$\eta_{\max}=0$ 
و بنابراین مقداری  که برای  پارامتر 
$\alpha$
در روش 
$\HSS$
پیشنهاد شد، به‌دست می‌آید. 
% \cite{bai242003}.  صززثذثذثز


\section{روش	$\PSS$   توسعه یافته       (\gls*{epss})}
\label{secepss}
در اینجا تعمیمی از روش 
$\PSS$ 
را ارائه می‌کنیم. فرض کنید 
$\mathbf{S}$ 
یک ماتریس پادهرمیتی دلخواه و 
$\mathbf{ A}$
یک ماتریس معین مثبت
باشد که ماتریس شکافت معین مثبت و پادهرمیتی متناظر با آنها به صورت  
\eqref{spss}
است  و بعلاوه فرض کنید 
$\Sigma$ 
یک ماتریس معین مثبت هرمیتی دلخواه باشد.   