\chapter*{پیش‌گفتار}
\markboth{پیش‌گفتار}
{}
\addcontentsline{toc}{chapter}{پیش‌گفتار}
 
حل یک دستگاه معادلات خطی به صورت 
\begin{align}
\label{sys}
 \mathbf{A}\mathbf{u}=\mathbf{b},
\end{align}
که در آن 
$\mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 
 و 
 $\mathbf{u},\mathbf{b}\in \mathbb{C}^{n}$، 
یکی از مسائل مهم در جبر خطی عددی می‌باشد. چنین مسأله‌ای در اغلب شاخه‌های مختلف علوم و مهندسی شامل: زیست‌شناسی، مهندسی فیزیک، مهندسی برق، راه و ساختمان، ارتعاشات و 
\lr{\ldots}~ظاهر می‌گردد که مشترک‌ترین منبع مسائل فوق، جواب‌های عددی معادلات دیفرانسیل می‌باشد. در کاربردهای عملی، حل یک دستگاه معادلات دیفرانسیل، معمولا به روش عددی و توسط گسسته‌سازی از طریق روش تفاضلات متناهی یا عناصر متناهی می‌باشد که منجر به  حل یک دستگاه معادلات خطی به صورت
  \eqref{sys}
    می‌گردد.  جواب   دستگاه معادلات خطی 
    \eqref{sys}، 
    یک جواب تقریبی معادله دیفرانسیل خواهد بود. 

روش‌های مختلفی برای حل یک دستگاه معادلات خطی وجود دارد که به دو دسته روش‌های مستقیم و  غیرمسقیم  (تکراری)  تقسیم می‌شوند.  
 در روش‌های مستقیم،  جواب دستگاه \eqref{sys}، به صورت مستقیم و در تعداد متناهی عمل حسابی  بدست می‌آید که  می‌تواند از طریق محاسبه تجزیه  
\text{\rm LR}
یا چولسکی  \LTRfootnote{Cholesky}،
   محاسبه تجزیه 
 $\rm QR$،
  محاسبه وارون، قاعده کرامر\LTRfootnote{Cramer}، روش حذفی گاوس\LTRfootnote{Gauss} یا گاوس-جردن\LTRfootnote{Gauss-Jordan} و
  \lr{\ldots}~صورت پذیرد. محاسبه  وارون و استفاده از قاعده کرامر، برای ماتریس‌های با ابعاد بزرگ اکیدا توصیه نمی‌شود. زیرا حجم محاسبات در این روش‌ها به شدت افزایش می‌یابد. همچنین، برای حل دستگاه‌هایی با ماتریس ضرایب تنک و با ابعاد بزرگ، مگر در موارد خاصی، هیچ یک از روش‌های بالا قابل استفاده نخواهند بود. زیرا به‌دلیل فرایند خاص آنها،  غالبا مجبور به ذخیره تعداد درایه‌های ناصفر بیشتری،  نسبت به  خود ماتریس 
  $\mathbf{A}$
  خواهیم بود که باعث افزایش میزان حافظه برای ذخیره‌سازی آنها، افزایش تعداد محاسبات و درنتیجه افزایش خطای محاسباتی خواهد شد.   
 اما در روش‌های تکراری، به ازای یک بردار اولیه  
  $\mathbf{u}^{(0)}$،
   دنباله‌ای از بردارها به صورت 
 $\{\mathbf{u}^{(k)}\}$،
 توسط یک رابطه بازگشتی مانند 
 \begin{align}
 \label{Git}
 \mathbf  {u}^{(k+1)} = \mathbf G_k   \mathbf {u}^{(k)}+ \mathbf {c}^{(k)},
 \end{align}
 که در آن 
 $\mathbf G_k \in \mathbb{C}^{n\times n}$
 و 
 $\mathbf {c}^{(k)} \in \mathbb{C}^{n}$ 
 	 وابسته به بردار 
 $\mathbf {u}^{(k)}$
 می‌باشند، به گونه‌ای تولید می‌شوند که این دنباله به جواب دستگاه معادلات 
 \eqref{sys}
 همگرا شود.  هر چند که ممکن است به دلیل افزایش تعداد محاسبات و انباشتگی خطای متأثر از خطای گرد کردن و 
 \lr{\ldots}~دستیابی به جوابی با دقت بسیار ناچیز مقدور نباشد. اما به هر حال، بسته به  روش انتخابی برای حل دستگاه و نوع ویژه ماتریس ضرایب آن،  
 می‌توان تقریبی از جواب مسأله را تا حدی محاسبه نمود. 
 
 بسته به نوع ماتریس تکرار 
  $\mathbf{G}_k$، 
  روش‌های تکراری برای حل دستگاه معادلات خطی \eqref{sys} به دو دسته کلی روش‌های تکراری ایستا و روش‌های تکراری پویا (غیرایستا) تقسیم می‌شوند. در روش‌های تکراری ایستا، ماتریس تکرار 
  $\mathbf{G}_k$
 همواره ثابت است، در صورتی که در روش‌های تکراری پویا، ماتریس تکرار
 $\mathbf{G}_k$
 وابسته به بردار 
  $\mathbf{u}^{(k)}$
 بوده و در هر گام به گونه‌ای  تغییر پیدا  می‌کند تا بردار جدید به دست آمده، که معمولا از یک مینیمم‌سازی روی یک فضا حاصل می‌شود،  یک تقریب بهتر نسبت به بردار قبل، برای جواب دستگاه 
 \eqref{sys}
 باشد. روش‌های تکراری گاوس-سایدل\LTRfootnote{Gauss–Seidel}، ژاکوبی\LTRfootnote{Jacobi}، ریچاردسون\LTRfootnote{Richardson}، \gls{sor}
 و 
 \lr{\ldots}~نمونه‌هایی از روش‌های تکراری ایستا و روش‌های 
 \gls{krysub}
  مانند گرادیان مزدوج، سریعترین کاهش و 
\lr{\ldots}~نمونه‌هایی از روش‌های تکراری پویا می‌باشند. همگرایی این روش‌ها وابسته به نوع ماتریس ضرایب دستگاه می‌باشد و هیچ‌کدام از این روش‌ها در حالت کلی همگرا نیستند. به‌عنوان مثال، همگرایی روش‌های گاوس-سایدل، ژاکوبی و 
\gls{sor}،
 برای دستگاه‌هایی با  ماتریس ضرایب قطر غالب و روش‌های تکراری ریچاردسون، گرادیان مزدوج و سریعترین کاهش، برای دستگاه‌هایی با ماتریس ضرایب معین مثبت هرمیتی به اثبات رسیده است. البته همگرایی برخی از این روش‌ها برای حالات دیگر نیز بررسی شده است. 
 یکی از روش‌های تکراری  پویا که  برای حل یک دستگاه معادلات خطی با ماتریس ضرایب دلخواه نامنفرد به کار می‌رود، روش  \gls{gmres} 
  می‌باشد  که توسط سعد\LTRfootnote{ Saad} و شولز\LTRfootnote{Schultz}
 در 
 \cite{saad71986}
 معرفی شده است.   پیرامون همگرایی این روش برای حل دستگاه‌هایی با ماتریس ضرایب منفرد نیز  در 
 \cite{brown181997}،
 توسط   برون\LTRfootnote{ Brown}
 و واکر\LTRfootnote{ Walker}، 
  نتایجی به دست آمده  است. 
 سرعت همگرایی این روش، وابسته به درجه چندجمله‌ای مینیمال ماتریس ضرایب می‌باشد و اگر این مقدار برابر با 
 $m$
 باشد، آنگاه دنباله برداری که توسط این روش تولید می‌شود،  حداکثر در  
 $m$
 تکرار با محاسبه دقیق، به جواب دستگاه معادلات خطی دست پیدا می‌کند. 
 در حالت کلی، سرعت همگرایی روش 
\gls{gmres}
 به خوشه بودن مقادیر ویژه ماتریس ضرایب بستگی دارد. هر چه تعداد بیشتری از  مقادیر ویژه ماتریس ضرایب،  حول  نقطه‌ای به دور از نقطه 
 $(0,0)$
  جمع شده باشند،  سرعت همگرایی  روش
\gls{gmres}
  نیز بیشتر خواهد بود
 \cite{benzi1822002}.  
 بدین منظور، می‌توان  با پیش ضرب یک ماتریس نامنفرد مانند 
 $\mathbf{P}$‌‌،
    به دو طرف رابطه 
  \eqref{sys}
  یک دستگاه معادلات خطی جدید به صورت 
  \begin{align}
  \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{u}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{b},
  \end{align}
  پدید آورد  که معادل دستگاه  
  \eqref{sys}
   است.   ماتریس 
  $\mathbf{P}$  را
  ماتریس \gls{prer} و  این دستگاه معادلات را دستگاه  \gls{pred} می‌گوییم.   
 
   مزیت حل این دستگاه        نسبت به حل دستگاه 
 \eqref{sys}،
 آن است که می‌توان ماتریس 
 $\mathbf{P}$
 را به گونه‌ای انتخاب نمود تا مقادیر ویژه ماتریس ضرایب آن، در نقطه‌ای به دور از نقطه  $(0,0)$ و در اطراف یک  نقطه مانند 
  $(1,0)$
  خوشه شوند و از این طریق، سرعت همگرایی روش 
\gls{gmres}
    برای به دست آوردن جواب دستگاه معادلات خطی 
 \eqref{sys}
 بهبود پیدا کند. یک انتخاب برای ماتریس 
 $\mathbf{P}$
 خود ماتریس 
 $\mathbf{A}$  A
 می‌باشد، اما از آنجا که محاسبه وارون ماتریس برای مسائل با ابعاد بزرگ بسیار پرهزینه است، همواره تقریبی از ماتریس
 $\mathbf{A}$
 به عنوان \gls{prer}، برای این گونه مسائل،  در نظر گرفته می‌شود. به‌علاوه، از آنجا  که در الگوریتم روش 
 \gls{gmres}
  به  محاسبه ضرب ماتریس ضرایب دستگاه در  بردار نیاز می‌باشد، لذا ماتریس 
 $\mathbf{P}$
  باید به گونه‌ای  انتخاب گردد که 
    حل یک دستگاه معادلات خطی با ماتریس ضرایب 
  $\mathbf{P}$
  نیز به سهولت انجام پذیرد. 
%  
%  از این رو به نظر می‌رسد که اگر بلوک‌های بالامثلثی یا پایین‌مثلثی ماتریس 
%  $\mathbf{A}$
% وارون‌پذیر باشند، می‌توانند کاندیداهای خوبی برای ماتریس 
% $\mathbf{P}$
% باشند. 
 
   بر این اساس،  روش‌های تکراری و پیش‌شرط‌سازهای مختلفی برای حل دستگاه معادلات خطی  معرفی شده‌اند. یکی از این روش‌ها،   روش
 \gls{hss}
می‌باشد که برای اولین بار توسط بای\LTRfootnote{Bai }
 و همکاران در \cite{bai242003} برای حل دستگاه معادلات خطی  معین مثبت غیر هرمیتی  معرفی گردید و سپس  \gls{prer}  \gls{hss}  توسط  این روش تکراری  تولید شد. در   \cite{bai242003} نشان داده شده که این روش  بدون هیچ شرطی، به تنها جواب دستگاه معادلات خطی معین مثبت غیر هرمیتی، همگراست. 
 به دلیل خواص جالب و کارآمد این روش، همواره مورد توجه بسیاری از افراد بوده  و نمونه‌های مختلفی از آن معرفی شده است. بطور مثال، 
 \gls{ihss}
 برای کاهش میزان استفاده از حافظه مورد نیاز برای ذخیره‌سازی در روش 
 \gls{hss} 
 ارائه شده است
  \cite{bai242003}.  
   \gls{mhss}
 در  
 \cite{bai562011}
  برای حل دستگاه‌های مختلط متقارن، توسط بای و بنزی  به دست آمده است. یک تعمیم از روش 
 $\rm HSS $\LTRfootnote{Generalization of $ \rm HSS $ } 
 ($\rm  GHSS $)
 در 
 \cite{benzi312009}
  معرفی شده است. همچنان نمونه‌های مختلفی از این روش برای حل دستگاه‌های معادلات خطی گوناگون استفاده می‌شود 
  \cite{zhou2712015,salkuyeh82014}. 
  روش
  \gls{pss} 
   توسط بای و همکاران در
 \cite{bai262005}
 برای حل دستگاه‌های  خطی  معین مثبت غیر هرمیتی معرفی شده است که تعمیمی از روش  
 \gls{hss}
 می‌باشد.  سپس پیش‌شرط‌ساز \gls{pss}
 توسط این روش     به دست آمد. در  \cite{bai262005}  نشان داده شد که روش    
 \gls{pss} 
   نیز بدون هیچ  شرطی، به جواب یکتای  دستگاه معادلات خطی با ماتریس ضرایب معین مثبت  غیر هرمیتی،  همگراست. 
 تعمیمی از روش
 $\rm  PSS $\LTRfootnote{Generalized $\rm  PSS $}
 ($\rm  GPSS $)
 توسط کائو\LTRfootnote{Cao}
 و همکاران در
 \cite{cao22012} 
 و بهبودی از آن\LTRfootnote{Modified  $\rm  GPSS $}
 ($\rm  MGPSS $)
 در 
 \cite{li2342014}
 معرفی شده است. روش تکراری انتقال-شکافت  و پیش‌شرط‌ساز متناظر با آن نیز توسط بای در 
 \cite{bai242006} 
 برای حل دستگاه معادلات خطی با ماتریس ضرایب معین مثبت غیر هرمیتی ارائه شده است. 
 در فصل دوم،    روش‌های تکراری   و پیش‌شرط‌سازهای دیگری نیز  معرفی می‌شوند.
 
 
اکنون دستگاه معادلات خطی 
\begin{equation}
\label{saddle0}
\mathcal{A}u\equiv \begin{bmatrix}{A}&{B^*}\\{-B}&{C}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}\equiv b,
\end{equation}
را در نظر بگیرید که در آن 
$A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ معین مثبت غیرهرمیتی، 
 $C \in \mathbb{C}^{m\times m}$ 
نیمه معین مثبت غیرهرمیتی، 
$ B \in  \mathbb{C}^{m \times n} $   $(m\leqslant n)$,   $f \in \mathbb {C}^n$ و  $g \in \mathbb{C}^m$. 
  چنین دستگاه‌هایی را   مسائل نقطه زینی تعمیم یافته می‌نامیم. 
 فرض می‌کنیم ماتریس‌های 
$A$، $B$ و $C$ 
تنک و از ابعاد بزرگ هستند.  مسائل نقطه زینی تعمیم‌یافته دارای کاربردهای متنوعی در علوم و مهندسی، نظیر 
 محاسبه مکانیک سیالات  
 \cite{arioli182002,elman432002,elman902002,fortin152000}،
  تقریب عناصر متناهی آمیخته برای معادلات دیفرانسیل جزیی بیضوی  
 \cite{brezzi2012, perugia72000, warsa112004}،
 بهینه‌سازی 
  \cite{benzi131993, gill131992, gill1981, gould232001, keller212000, lukvsan51998}،
   کنترل بهینه 
    \cite{betts2002}،
   تقریب کمترین مربعات  
\cite{bjorck1996}،
   مهندسی برق  
      \cite{strang1986} و
      \lr{\ldots} 
      می‌باشند، برای موارد بیشتر 
 \cite{bai752006} را ببینید.
 
اخیرا روش‌های تکراری  زیادی برای حل مسائل نقطه زینی
 \eqref{saddle0}  پیشنهاد شده است،  مانند  
\gls{sorl} \cite{golub412001}،
\gls{gsor}  \cite{bai1022005}،
روش اوزاوا\LTRfootnote{Uzawa}  \cite{bramble341997}،
روش پارامتری اوزاوای   ناقص\LTRfootnote{Parametrized inexact Uzawa} \cite{bai4282008}،
روش شکافت هرمیتی و پادهرمیتی
  \cite{benzi262004, simoncini262004} و غیره.
با این  وجود ممکن است  روش‌های تکراری ایستا  کارایی کمتری  نسبت به روش‌های 
\gls{krysub}
 داشته باشند \cite{saad822003}. 
از سوی دیگر،  هنگامی که روش‌های \gls{krysub}   برای حل مسائل نقطه زینی  به کار می‌روند دارای همگرایی کندی هستند. 
با این وجود، روش‌های تکراری ایستا  می‌توانند پیش‌شرط‌سازهای ارزشمندی را برای سرعت بخشیدن    همگرایی روش‌های مبتنی بر \gls{krysub} تولید کنند. 
همانطور که ذکر شد، سرعت همگرایی  روش‌های \gls{krysub} وابسته به خوشه بودن مقادیر ویژه ماتریس پیش‌شرط‌شده در اطراف نقطه  
 $(1,0)$
و به دور از نقطه 
$(0,0)$
  می‌باشد \cite{benzi1822002} که این امر با انتخاب پیش‌شرط‌سازهای مناسب تحقق می‌یابد. 
از این رو،  پیش‌شرط‌‌سازهای مختلفی  برای حل مسائل نقطه زینی مانند پیش‌شرط‌سازهای قطری‌بلوکی
\cite{murphy212000,sturler262005} ،
پیش‌شرط‌سازهای مقید
\cite{bai312009, keller212000}،
پیش‌شرط‌سازهای  مثلثی ‌بلوکی
\cite{cao572007, simoncini492004, wu482008}،
پیش‌شرط‌سازهای   پارامتری ‌مثلثی ‌بلوکی
\cite{jiang2162010}،
پیش‌شرط‌سازهای تجزیه هرمیتی و پادهرمیتی
 \cite{bai982004, benzi262004}، 
پیش‌شرط‌سازهای تجزیه معین مثبت و  پادهرمیتی
 \cite{pan1722006, shen2372014}،
 پیش‌شرط‌سازهای ابعادی\LTRfootnote{Dimensional splitting }
 ($ \rm DS $) \cite {benzi612011, benzi2302011}،
پیش‌شرط‌سازهای انتقال-شکافت\LTRfootnote{Shift-splitting}
($ \rm SS $)
\cite{bai242006, cao2722014, cao492015, chen432015,salkuyeh482015} 
 و غیره      
ارائه شده‌اند. 




بنزی\LTRfootnote{Benzi}
 و گلاب\LTRfootnote{Golub}
  روش تکراری \gls{hss}  را برای حل مسائل نقطه زینی به کار گرفتند و 
  نشان دادند که تحت شرایطی روش تکراری  \gls{hss} بدون هیچ محدودیتی بر روی پارامتر خود،  به تنها جواب مسائل نقطه زینی همگراست \cite{benzi262004}. 
به دلیل عملکرد مطلوب و خواص ریاضی جالب،  روش تکراری \gls{hss} مورد توجه بسیاری  شده است. از این‌رو
انواع مختلفی از این روش   به همراه خصوصیات آنها بررسی شده است. 
یک نمونه تسریع شده از  روش\gls{hss}\LTRfootnote{Accelerated \gls{hss}}
  که با
$\rm AHSS $
  نشان داده شده، توسط بای و گلاب در \cite{bai272007}  معرفی شده است.
پارامترهای شبه-بهینه و فاکتورهای همگرایی شبه-بهینه برای روش‌های \gls{hss}
  و
   $ \rm AHSS $
   در \cite{bai162009} به دست آمده است. 
بای و بنزی  در \cite{bai572017}
 یک نمونه منظم‌شده 
از روش \gls{hss}\LTRfootnote{Regularized \gls{hss}}
را که با  
\gls*{rhss} نشان داده‌اند،
برای مسائل نقطه زینی ارائه داده‌اند. 
به منظور خواص همگرایی پیش‌شرط‌ساز  \gls{hss}  برای ماتریس‌های غیرهرمیتی  \cite{bai762007} را ببینید. 
سیمونسینی\LTRfootnote{Simoncini}
و بنزی در   \cite{simoncini262004} کران‌هایی را برای مقادیر ویژه ماتریس پیش‌شرط‌شده مسائل نقطه زینی، زمانی ‌که  از  پیش‌شرط‌ساز \gls{hss}  استفاده شود،  به دست آورده‌اند. 
بای و همکاران مقادیر  بهینه را برای روش تکراری \gls{hss} برای حل دستگاه معادلات بلوکی 
$2\times 2$ 
محاسبه نموده‌اند. همچنین چن\LTRfootnote{Chen}
\cite{chen2712015}
و هونگ\LTRfootnote{Huang}
\cite{huang2552014} 
دو روش را برای محاسبه پارامترهای بهینه در روش \gls{hss} برای مسائل نقطه زینی ارائه کرده‌اند. 


در \cite{pan1722006}، پن\LTRfootnote{Pan}
 و همکاران،  روش    
 DPSS\LTRfootnote{Deteriorated PSS} 
را که همان بکارگیری روش  
PSS
برای حل مسائل نقطه زینی است، زمانی  که بلوک 
$(2,2)$ 
  برابر صفر باشد،   ارائه کرده‌اند. سپس شن\LTRfootnote{Shen}
 از این روش  برای  حل  مسائل نقطه زینی تعمیم‌یافته استفاده کرد \cite{shen2372014}. 
فن\LTRfootnote{Fan}
و ژو\LTRfootnote{Zhu}
در \cite{fan2582015}  یک تعمیم  تعدیل‌یافته    از پیش‌شرط‌ساز   PSS 
          را معرفی کرده‌اند. ژی\LTRfootnote{Xie}
و ما\LTRfootnote{Ma}
در
  \cite{xie722016}
   روش بهبودیافته
 PSS
را برای مسائل نقطه زینی تعمیم‌یافته  پیشنهاد داده‌اند. 



فصل  بندی  این رساله  به  صورت زیر است.  در فصل اول، مفاهیم، تعاریف، لم‌ها و قضایای مورد نیاز در فصل‌های دیگر مرور شده است. در ادامه‌ی این فصل،  به عدد شرطی و  پیش‌شرط‌سازی پرداخته می‌شود و  سپس   روش‌های تکراری ایستا و روش‌های \gls{krysub} معرفی  می‌شوند. 
در فصل دوم، چندین روش تکراری به همراه پیش‌شرط‌سازهای آنها مورد مطالعه و بررسی قرار  گرفته‌اند. 
سپس \gls{epss}،
که آن را با 
{\rm EPSS} 
نشان می‌دهیم، برای حل یک دستگاه معادلات خطی با ماتریس ضرایب معین مثبت غیر هرمیتی ارائه   و خواص آن، مورد مطالعه قرار داده شده است.   همگرایی و نیمه همگرایی این روش برای مسائل منفرد و نامنفرد، بررسی شده است. نشان خواهیم داد که این روش بدون هیچ محدودیتی برای حل دستگاه‌های معین مثبت همگرا خواهد بود. اما هنگامی که این روش برای   حل دستگاه‌هایی با ماتریس ضرایب نیمه معین مثبت  قرار  گیرد، همه مقادیر ویژه ماتریس تکرار آن درون و روی دایره‌ای به شعاع 1 و مرکز 
$(0,0)$
قرار می‌گیرند و لذا ممکن است  در این حالت همگرایی یا  نیمه همگرایی وجود نداشته باشد.  اما به دلیل خوشه بودن مقادیر ویژه ماتریس تکرار این روش، استفاده از  پیش‌شرط‌ساز وابسته به آن، برای حل دستگاه‌هایی با ماتریس ضرایب   معین یا نیمه معین  مثبت غیرهرمیتی مناسب به نظر می‌رسد.   تقریبی برای پارامتر بهینه این روش در حالت‌های مختلفی ارائه شده است.  
با استفاده از یک مثال عددی، حالت‌های خاصی از این روش و رفتار پیش‌شرط‌ساز وابسته به آنها، مورد آزمایش و بررسی قرار خواهند گرفت. در فصل سوم، به مسائل نقطه زینی تعمیم‌یافته می‌پردازیم. شرایط وجود و یکتایی جواب برای این مسائل به دست می‌آید.  برخی از کاربردهای عملی این مسائل بازگو می‌شوند. سپس، برخی از روش‌ها و پیش‌شرط‌‌سازهای مختلفی را که برای حل این‌گونه مسائل معرفی شده‌اند، مورد مطالعه قرار داده و چند روش جدید     را برای حل مسائل نقطه زینی 
\eqref{saddle0}
معرفی می‌کنیم. پس از آن، روش 
EPSS 
را که در فصل سوم معرفی می شود، برای حل مسائل نقطه زینی  تعمیم‌یافته به کار می‌گیریم و همگرایی و نیمه همگرایی آن را مورد بررسی قرار می‌دهیم. خواهیم دید که این روش تکراری و پیش‌شرط‌ساز وابسته به آن، تعمیمی از برخی روش‌ها و  پیش‌شرط‌‌سازهای معرفی شده برای مسائل نقطه زینی تعمیم‌یافته خواهند بود و در نتیجه  اثبات همگرایی و نیمه همگرایی این روش، همگرایی و نیمه همگرایی همه آن روش‌ها را شامل خواهد شد. هر چند که به دلیل شکل ویژه این روش،  حالت‌های خاص بسیاری برای این روش وجود دارد، اما یکی از موارد خاص    این روش را که دارای عملکرد خوبی می‌باشد، معرفی و مورد بررسی قرار می‌دهیم. پارامترهای بهینه برای این پیش‌شرط‌ساز را به دست آورده و حالت ناقص آن را برای کاربردهای عملی مورد مطالعه قرار می‌دهیم. در نهایت با استفاده از نتایج عددی، رفتار پیش‌شرط‌سازهای معرفی شده مورد ارزیابی قرار می‌گیرند. 