\chapter{ نتایجی در روش‌های تکراری برای حل دستگاه معادلات خطی}
\section*{مقدمه}
دستگاه معادلات خطی  
\begin{equation}
\label{system}  
\mathbf {A}\mathbf u =  \mathbf b,
\end{equation}
را در نظر بگیرید که در آن  
$ \mathbf A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ و $\mathbf b\in \mathbb{C}^{ n}$. 
 در این فصل همواره فرض می‌کنیم ماتریس
$\mathbf{ A}$
یک ماتریس معین مثبت غیرهرمیتی، تنک و از ابعاد بزرگ است.  
همانگونه در فصل پیش ذکر شد،  برای   حل چنین  دستگاه‌هایی استفاده از  روش‌های تکراری پیشنهاد می‌شود. بنابراین  در ابتدا روش تکراری
 \gls{pss}
 را برای حل   دستگاه  \eqref{system} معرفی می‌کنیم و سپس  حالت‌های خاصی از این روش و همچنین تعمیمی از آن را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.  
\section{روش شکافت معین مثبت و پادهرمیتی
(\gls*{pss})
} 

فرض کنید 
$\mathbf{S}$ 
یک ماتریس
 \gls{skher}
  دلخواه باشد.  چون  
$\mathbf{ A}$
یک ماتریس 
\gls{pd}
است، پس  
$\mathbf{P}\equiv \mathbf{A}-\mathbf{S}$
نیز یک ماتریس \gls{pd} است. 
در نتیجه   ماتریس 
$\mathbf{A}$
دارای شکافت  معین مثبت و پادهرمیتی به صورت 
\begin{align}
\label{spss}
\mathbf A =\mathbf P+\mathbf S,  ~~\text{معین مثبت}~\mathbf{P} ,~~~~  \mathbf S^*=-\mathbf S,
\end{align}
می‌باشد.
به ازای 
$\alpha>0$،
  دو 
شکافت را  برای  ماتریس 
$\mathbf{A}$،
متناظر با ماتریس 
$\mathbf{S}$،  
به صورت 
\begin{align*}
\mathbf{A} = ({\alpha \mathbf I}+ {\mathbf P}  ) -  (\alpha \mathbf I - \mathbf S)
= (\alpha \mathbf I +  \mathbf S) -  (\alpha \mathbf I - {\mathbf P} ),
\end{align*}
در نظر می‌گیریم. دنباله تکراری 
\begin{align}
\begin{cases}
\label{iterpss}
(\alpha \mathbf I +\mathbf P  )  \mathbf {u}^{(k+\frac{1}{2})}= ( \alpha \mathbf I - {\mathbf S}  )   \mathbf{u}^{(k)}+ \mathbf{b}, \\
(\alpha \mathbf I+ {\mathbf S}  ) \mathbf {u}^{(k+1)}=  (\alpha \mathbf I - \mathbf P  )  \mathbf {u}^{(k+\frac{1}{2})} + \mathbf{b},
\end{cases}
\end{align}
را به ازای بردار دلخواه
$\mathbf u^{(0)}$
 تولید می‌کنیم. با توجه به این که ماتریس‌های  $\alpha \mathbf I +  {\mathbf P}  $   و $\alpha \mathbf I +  {\mathbf S}  $  ماتریس‌های نامنفرد هستند، دستگاه‌های بالا دارای جواب یکتا می‌باشند.
در هر مرحله از روند \gls{pss}، جواب هر یک از دستگاه‌ها را با استفاده از روش‌های مستقیم مانند تجزیه‌ی 
\text{\rm LU} 
به‌دست می‌آوریم. 
در گام اول از
$\mathbf u^{(0)}$
به عنوان حدس اولیه برای دستگاه اول استفاده کرده،
سپس تقریب حاصل از این دستگاه را در دستگاه دوم به عنوان حدس اولیه
به‌کار می‌بریم و در نهایت تقریب به‌دست آمده از دستگاه دوم را، در گام بعد به عنوان جواب اولیه استفاده می‌کنیم. با به دست آوردن بردار 
$\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}$ 
از معادله اول و جایگذاری آن در معادله دوم، داریم
\begin{align}
\label{ipss}
\mathbf {u}^{(k+1)}&=\mathbf{G}_{\PSS} (\alpha) \mathbf{u}^{(k)}+ {\mathbf c},\nonumber\\
\mathbf{G}_{\PSS}(\alpha)&=( \alpha \mathbf I +  {\mathbf P}   )^{-1}  ( \alpha \mathbf I  - \mathbf  S  ) ( \alpha \mathbf I +\mathbf  S  )^{-1}  ( \alpha \mathbf I - {\mathbf P}   ) ,
\end{align}
 که در آن 
$ \mathbf{c}=2  \alpha  ( \alpha \mathbf I + \mathbf  P  )^{-1}  ( \alpha \mathbf I +  {\mathbf S}    )^{-1}  \mathbf{b}$. 
این روش تکراری روش تجزیه‌ی معین مثبت و پادهرمیتی وابسته به شکافت 
\eqref{spss}
%\LTRfootnote{Positive definite and skew-Hermitian splitting}
نامیده می‌شود. 
با توجه به ضریب 
بردار 
$\mathbf b$ 
در 
$\mathbf c$
به راحتی می‌توان دید که این روش دارای شکافتی به صورت  $\mathbf{A}={\mathbf{M}}-{\mathbf{N}}$ است که در آن 
\begin{align}
\label{MNpss}
{ \mathbf{M}}= \frac{1}{2\alpha}  ( \alpha \mathbf I + {\mathbf S}  ) ( \alpha \mathbf I + \mathbf  P  ), ~~
{\mathbf N}={\mathbf A}-{\mathbf M}=\frac{1}{2\alpha}  (\alpha \mathbf I - {\mathbf S}  ) ( \alpha \mathbf I -\mathbf P  ).
\end{align}
در ادامه همگرایی این  روش را مورد مطالعه قرار می‌دهیم. 
\begin{lemma}
	\cite[لم 2.1]{bai262005}
	فرض کنید 
	\begin{align}
	\label{va}
	V(\alpha)=\norm{( \alpha \mathbf I -{\mathbf P}  ) ( \alpha \mathbf I + \mathbf  P  )^{-1}}.
	\end{align}
	اگر ماتریس 
	$\mathbf P$
	یک ماتریس \gls{pd} باشد، آنگاه به ازای هر
	$\alpha>0$، 
	\[V(\alpha)<1.\]
\end{lemma}
چون  
$\mathbf{S}$
ماتریسی \gls{skher} است،  
بنابراین 
$ ( \alpha \mathbf I -{\mathbf S}  )(\alpha \mathbf I +\mathbf S  )^{-1}  $
ماتریسی \gls{uni} است. لذا 
$$\norm{( \alpha \mathbf I -{\mathbf S}  )(\alpha \mathbf I +\mathbf S  )^{-1}}=1$$
و در نتیجه قضیه‌ی بعدی را داریم.
\begin{theorem}
	\label{convpss}
	\cite[قضیه 2.3]{bai262005}
	فرض کنید 
	$\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n\times n}$
	یک ماتریس \gls{pd} و دارای شکافتی به صورت   
	\eqref{spss}	
	و 
	$V(\alpha)$ 	
	ماتریس تعریف شده در 
	\eqref{va}
	باشد. در این صورت 
	$V(\alpha)$ 	 
	یک  کران بالا برای 
	$\rho(\mathbf{G}_{\PSS}(\alpha))$ 
	است و بنابراین 
	\begin{align*}
	\rho(\mathbf{G}_{\PSS}(\alpha)) \leq V(\alpha) <1, ~~~~\alpha>0.
	\end{align*}
	این بدین معنی است که روش  
	\gls{pss} 
به ازای هر حدس اولیه‌ی دلخواه	به جواب دستگاه معادلات 
	\eqref{system}
	همگراست. 
\end{theorem}
توجه داشته باشید که در حالت کلی در   روش
	\gls{pss}،
نمی‌توان مقداری را برای پارامتر
$\alpha$
ارائه کرد که توسط آن کران بالای شعاع طیفی ماتریس تکرار،
یعنی مقدار 
$V(\alpha)$، 
مینیمم شود که این امر یکی از معایب این روش می‌باشد. 
از طرفی در هر گام باید دو زیر دستگاه با ماتریس ضرایب 
$\alpha \mathbf I + {\mathbf P}$ و 
$\alpha \mathbf I + {\mathbf  S}$، 
توسط  روش‌های مستقیم، مانند تجزیه‌ی 
\text{\rm LU}
یا تجزیه‌ی چولسکی 
حل شوند  که برای مسائل با ابعاد بزرگ  نیاز  به حافظه‌ی ذخیره‌سازی زیادی دارند (البته توجه داشته باشید که برای کاهش   هزینه‌ی محاسبات می‌توان از تجزیه‌ی \text{\rm LU} یا چولسکی
با ترکیب  
	\gls{amd}
یا 
	\gls{symamd}
استفاده نمود). 
برای   رفع  مشکلات بالا، نسخه‌های مختلفی از روش 
{\PSS}
وجود دارد. 
برای به‌دست آوردن مقدار 
$\alpha$ 
که مقدار کران بالای شعاع طیفی را مینیمم کند، می‌توان ماتریس
$\mathbf{S}$
را به گونه‌ای یافت که ماتریس 
$\mathbf{P}$
متناظر با آن، ماتریسی هرمیتی  یا   نرمال شود. اما برای ساده‌سازی حل زیر دستگاه‌ها، می‌توان ماتریس 
$\mathbf{S}$
را به گونه‌ای در نظر گرفت که ماتریس
$\mathbf{P}$
یک ماتریس مثلثی یا مثلثی‌بلوکی گردد و در نهایت برای کاهش میزان حافظه‌ی ذخیره‌سازی،  می‌توان  زیر دستگاه‌ها را با استفاده از روش‌های تکراری مانند  روش‌های 
\gls{krysub}
حل نمود. 
در این فصل نمونه‌های مختلفی از ماتریس
$\mathbf{S}$ 
را مورد بررسی قرار می‌دهیم و با استفاده از شکافت متناظر با آن 
%برای ماتریس
% $\mathbf{A}$ 
در
\eqref{spss}،
روش‌های تکراری مختلفی را که برای حل   دستگاه  
\eqref{system} 
وجود دارند،  معرفی می‌کنیم.  سپس  تعمیمی از روش  
\PSS
را برای حل این دستگاه، ارائه می‌دهیم. در نهایت با یک مثال، به بررسی تاثیر این روش نسبت به برخی از   روش‌های  ارائه شده می‌پردازیم.

\section{	روش  \PSS  ناقص     
	(\gls*{ipss})
}
\label{secIEPSS}

همان‌طور که بیان شد، در هر گام از روش 
\PSS،
باید دو زیر دستگاه با استفاده از روش‌های مستقیم با ماتریس ضرایب 
$\alpha \mathbf{I}+{\mathbf P}$ و
$\alpha \mathbf{I} +\mathbf{S}$
حل شوند  که در مسائل با ابعاد بزرگ، هم از نظر میزان حافظه‌ی ذخیره‌سازی و هم از نظر میزان محاسبات، بسیار پرهزینه خواهند بود. لذا به منظور افزایش کارایی این روش،  
می‌توانیم زیر دستگاه‌ها را  به صورت نادقیق و   با استفاده از  روش‌های تکراری،  مانند  روش‌های \gls{krysub}  حل کنیم. این روش، روش
\gls{ipss}
نامیده می‌شود. فرض کنید 
\[
\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{u}^{(k)}+\mathbf{z}^{(k)},
\]
که   با جایگذاری در معادله‌ی اول در \eqref{iterpss} داریم  
\begin{align*} 
(\alpha \mathbf I+{\mathbf P}) \mathbf{z}^{(k)}&=(\alpha I+{\mathbf P})(\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})} -  {\mathbf{u}^{(k)}})\nonumber\\
&= ( \alpha \mathbf I - {\mathbf S}  )   \mathbf{u}^{(k)}+ \mathbf{b}-(\alpha \mathbf I+{\mathbf P})  {\mathbf{u}^{(k)}}
\\
&=\mathbf{b}-(\mathbf{P}+\mathbf{S})\mathbf{u}^{(k)}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{u}^{(k)}=\mathbf{r}^{(k)}.
\end{align*}
پس مقدار 
$\mathbf{z}^{(k)}$  
از حل دستگاه
\begin{align}\label{res1}
(\alpha \mathbf I+{\mathbf P}) \mathbf{z}^{(k)}=\mathbf{r}^{(k)},
\end{align}
   حاصل می‌شود. سپس 
 
\[
\mathbf{u}^{(k+1)}=\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}+\mathbf{z}^{(k+\frac{1}{2})},
\]
که در آن $\mathbf{z}^{(k+\frac{1}{2})}$، به طور مشابه  با جایگذاری در رابطه‌ی دوم در  \eqref{iterpss} و  از حل دستگاه 
\begin{equation}\label{res2}
(\alpha I +\mathbf{S})\mathbf{z}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{r}^{(k+\frac{1}{2})},
\end{equation}
حاصل می‌شود.
در روش 
\gls{ipss}،
دستگاه‌های  (\ref{res1})    و  (\ref{res2})   را با روش‌های  \gls{krysub} به‌صورت ناقص حل می‌کنیم.  
در نتیجه  الگوریتم
\ref{algoritmIPSS}
برای این روش به دست می‌آید.  
\begin{algorithm}	
	\caption{\rl{ روش تکراری
			\gls*{pss}
			ناقص  
			(\gls*{ipss})   }
	}
	\label{algoritmIPSS}
	\begin{enumerate}[1)]
		\item حدس اولیه‌ی $\mathbf{u}^{(0)}$  را انتخاب کنید. 
		\item  به ازای  
		$k=0,1,2,\ldots$ 
		تا زمان همگرایی  انجام دهید: 
		\begin{enumerate}
		\item   قرار دهید   $\mathbf{r}^{(k)}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{u}^{(k)}$. 
		\item      جواب تقریبی دستگاه 
		$(\alpha \mathbf I+\hat{\mathbf P}) \mathbf{z}^{(k)}=\mathbf{r}^{(k)}$
		را با استفاده از روش‌های  \gls{krysub} به گونه‌ای محاسبه کنید تا شرط  
		$\norm{\mathbf{r}^{(k)}-(\alpha \mathbf I+\hat{\mathbf P}) \bar{\mathbf{z}}^{(k)}}|\leqslant \epsilon_k \norm{\mathbf{r}^{(k)}}$ برقرار شود, 
		که در آن 
		$\epsilon_k$ 
		خطای مجاز است. 	
		\item قرار دهید  $\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{u}^{(k)}+\bar{\mathbf{z}}^{(k)}$.  
		\item  دستگاه  $\mathbf{r}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}$
		را حل کنید. 
		\item جواب تقریبی دستگاه  
		$(\alpha \mathbf I +\mathbf{S})\mathbf{z}^{(k+\frac{1}{2})}=\mathbf{r}^{(k+\frac{1}{2})}$
		را با استفاده از روش‌های  \gls{krysub} به گونه‌ای محاسبه کنید  تا شرط 
		$\norm{\mathbf{r}^{(k+\frac{1}{2})}-(\alpha \mathbf I +\mathbf{S})\bar{\mathbf{z}}^{(k+\frac{1}{2})}}\leqslant \eta_k\norm{ \mathbf{r}^{(k+\frac{1}{2})}}$ برقرار شود,
		 که در آن
		$\eta_k$
		مقدار خطای مجاز است.
		\item    $\mathbf{u}^{(k+1)}:=\mathbf{u}^{(k)}+\bar{\mathbf{z}}^{(k+\frac{1}{2})}$. 
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{algorithm}
\section{روش شکافت انتقال
	(\gls*{ss})  }
دستگاه معادلات خطی 
\eqref{system} 
را در نظر بگیرید و فرض کنید 
$\mathcal{S}=0$.
شکافت متناظر با این انتخاب 
$\mathbf{S}$ 
در رابطه‌ی 
\eqref{MNpss}،
تجزیه‌ی
 \gls{ss}
ماتریس 
$\mathbf A$ 
نامیده می‌شود که به صورت
\begin{align}
\label{sss}
\mathbf{ A}=\mathbf{ M}-\mathbf{N}=\frac{1}{2}(\alpha \mathbf I +\mathbf A )-\frac{1}{2}(\alpha \mathbf I -\mathbf A ),
\end{align}
می‌باشد  که در آن 
$\alpha>0$ 
و 
$\mathbf I$
ماتریس همانی است. بنابراین، 
روش تکراری متناظر با این روش به صورت 
\begin{align}
\label{iss}  
(\alpha  \mathbf{I}+\mathbf{A})	\mathbf u^{(k+1)}= (\alpha  \mathbf{I}-\mathbf{A}) \mathbf{u}^{(k)}+ 2\mathbf{b}, ~~~k=1,2,\cdots,
\end{align}
و ماتریس تکرار آن برابر
$\mathbf{G}_{SS}(\alpha)=(\alpha  \mathbf{I}+\mathbf{A})^{-1}(\alpha  \mathbf{I}-\mathbf{A})$
خواهد بود. این روش اولین بار توسط بای در 
\cite{bai262005} 
معرفی شده است. 
قضیه‌ی زیر همگرایی این روش را نشان می‌دهد.
\begin{theorem}
	\cite[قضیه 2.2]{bai242006}
	\label{convss}
	فرض کنید 
	$\mathbf{ A}$
	یک ماتریس معین مثبت غیر هرمیتی،  
	$\mathbf {A}_H=\frac{1}{2}(\mathbf{A}+\mathbf{A}^*)$،
	کران پایین مقادیر ویژه‌ی ماتریس هرمیتی
	$\mathbf {A}_H$
	برابر با 
	$\beta_l (\mathbf {A}_H)$
	و
	$\alpha$
	یک عدد مثبت باشد.  در این صورت، 
	\begin{align*}
	\rho(\mathbf{G}_{SS}(\alpha))\leq \delta(\alpha)=\sqrt{\frac{\alpha^2-2 \alpha \beta_l (\mathbf {A}_H) +\norm{A}^2}{\alpha^2+2 \alpha \beta_l (\mathbf {A}_H) +\norm{A}^2}},
	\end{align*}
	که به ازای 
	$\alpha=\norm{A}$ 
	کران بالای  
	$\delta(\alpha)$
	به مینیمم مقدار خود که برابر 
	$\sqrt{\frac{\norm{A}- \beta_l (\mathbf {A}_H)}{\norm{A}+ \beta_l (\mathbf {A}_H) }}$
	است، می‌رسد.  
\end{theorem}
چون ماتریس 
$\mathbf {A}_H$
یک ماتریس معین مثبت است، قضیه‌ی 
\ref{convss}
نشان می‌دهد که روش انتقال شکافت به ازای هر مقدار مثبت 
$\alpha$
همگراست. 
علاوه بر آن  می‌توان از ماتریس 
$\mathfrak{P}=2 \mathbf{M}=\alpha  \mathbf{I}+\mathbf{A}$
بعنوان پیش‌شرط‌ساز برای حل دستگاه‌ 
\eqref{system}
استفاده‌ کرد. 
\section{روش  شکافت هرمیتی و پادهرمیتی 
	(\gls*{hss})}
فرض کنید  
$\mathbf{S}=\frac{1}{2}(\mathbf A-\mathbf A^*)$.
در اینصورت 
$\mathbf{A}_H= \mathbf{A}-\mathbf{S}=\frac{1}{2}(\mathbf A+\mathbf A^*)$
یک ماتریس معین مثبت هرمیتی   است.  شکافت متناظر با این روش، شکافت معین مثبت هرمیتی و پادهرمیتی
\LTRfootnote{Hermitian and skew-Hermitian splitting}
ماتریس 
$\mathbf{A}$
نامیده می‌‌شود. لذا 
\begin{align}
\label{shss}
\mathbf A =\mathbf A_H+\mathbf S, ~ ~~\mathbf A_H^*= \mathbf A_H,~~~ \mathbf S^*=-\mathbf S.
\end{align}
به ازای
$\alpha>0$  
شکافت‌های  
\begin{align*}
\mathbf{A} = (\alpha \mathbf I +  \mathbf S) -  (\alpha \mathbf I - {\mathbf A_H} )
=  ({\alpha \mathbf I}+ {\mathbf A_H}  ) -  (\alpha \mathbf I - \mathbf S),
\end{align*}
را برای ماتریس 
$\mathbf{A}$
در نظر می‌گیریم و با استفاده از آنها  دنباله تکراری 
\begin{align*}%\label{seq}
\begin{cases}
(\alpha \mathbf I +\mathbf S  )\mathbf {u}^{(k+\frac{1}{2})}=  ( \alpha \mathbf I - {\mathbf A_H}  )   \mathbf{u}^{(k)}+ \mathbf{b}, 	\\
(\alpha \mathbf I+ {\mathbf A_H}  )  \mathbf{u}^{(k+1)}= (\alpha \mathbf I - \mathbf S  )   \mathbf{u}^{(k+\frac{1}{2})}+ \mathbf{b},
\end{cases}
\end{align*}
را به ازای
$\mathbf u^{(0)}$
دلخواه می‌سازیم.
در این صورت، 
\begin{align}
\label{ihss}
\mathbf{u}^{(k+1)}&=\mathbf{G}_{\HSS} (\alpha) \mathbf{u}^{(k)}+ \mathbf{c},\\
%\label{gama}
\mathbf{G}_{\HSS}(\alpha) &= ( \alpha \mathbf I +  {\mathbf A_H}   )^{-1}  ( \alpha \mathbf I  - \mathbf  S  )( \alpha \mathbf I +\mathbf  S  )^{-1}  ( \alpha \mathbf I - {\mathbf A_H}   ) ,\nonumber
\end{align}
 که در آن 
$ \mathbf{c}=2 \alpha ( \alpha \mathbf I + \mathbf  A_H  )^{-1} ( \alpha \mathbf I +  {\mathbf S}    )^{-1}  \mathbf{b}$. 
به راحتی می‌توان دید که این روش دارای شکافتی به صورت  $\mathbf{A}={\mathbf{M}}-{\mathbf{N}}$ است که در آن 
\begin{align}
\label{MNhss}
{ \mathbf{M}}= \frac{1}{2\alpha}  ( \alpha \mathbf I + \mathbf  S  )( \alpha \mathbf I + {\mathbf A_H}  )  , ~~
{\mathbf N}=\mathbf{A} - \mathbf{M} =\frac{1}{2\alpha}  ( \alpha \mathbf I -\mathbf S  )(\alpha \mathbf I - {\mathbf A_H}  ).
\end{align}
برای بکارگیری روش 
$\HSS$
در هر گام باید دو زیر دستگاه با ماتریس ضرایب 
$\alpha \mathbf I + {\mathbf A}_H$ و 
$\alpha \mathbf I + {\mathbf  S}$ 
حل شوند. 
برای حل زیردستگاه با ماتریس ضرایب ماتریس هرمیتی
$\alpha \mathbf I + {\mathbf A_H}$،
می‌توان از روش 
{\rm CG}
یا 
{\rm CG}
 با پیش‌شرط‌ساز مناسب  به همراه 
{\rm SYMAMD}
و برای حل زیردستگاه با ماتریس ضرایب 
$\alpha \mathbf I + {\mathbf  S}$،
از روش‌های  \gls{krysub} مانند 
$\GMRES$
استفاده نمود.  قضیه‌ی زیر همگرایی این روش را نشان می‌دهد.
\begin{theorem}
	\label{boundhss}
	\cite[قضیه 2.2]{bai242003}
	فرض کنید 
	$\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n\times n}$
	یک ماتریس معین مثبت،  
	$\mathbf{A}_H=\frac{1}{2}(\mathbf{A}+\mathbf{A}^*)$
	قسمت   هرمیتی
	و
	$\mathbf{S}=\frac{1}{2}(\mathbf{A}-\mathbf{A}^*)$
	قسمت  پادهرمیتی ماتریس 
	$\mathbf{A}$ 
	باشند. در این صورت، به ازای هر $\alpha>0$،  تابع  
	$$\delta(\alpha)=\max_{\lambda_i \in \sigma(\mathbf{A}_H)}\left| \frac{\alpha-\lambda_i}{\alpha+\lambda_i}\right|,$$
	یک کران بالای شعاع طیفی ماتریس تکرار روش 
	$\HSS$
	است. بنابراین 
	\begin{align}
	\rho(\mathbf{G}_{\HSS}(\alpha))\leq \delta(\alpha) <1, ~~~ \forall \alpha>0.
	\end{align}
\end{theorem}
بعلاوه اگر 
$\lambda_{\min}$ 
و
$\lambda_{\max}$
به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقدار ویژه ماتریس 
$\mathbf A_H$
باشند، آنگاه 
\begin{align}
\label{alphahss}
\alpha_*\equiv \argmin_\alpha \max _ {\lambda_{\min} \leq \lambda \leq \lambda_{\max} } \left| \frac{\alpha-\lambda}{\alpha+\lambda}\right| =\sqrt{\lambda_{\min} \lambda_{\max}},
\end{align}
که به ازای آن 
\begin{align}
\delta(\alpha_*)= \frac{\sqrt{\lambda_{\max}}- \sqrt{\lambda_{\min}}   }{\sqrt{\lambda_{\max}}+ \sqrt{\lambda_{\min}}   }=\frac{\sqrt{\cond(\mathbf{A}_H)}- 1   }{\sqrt{\cond(\mathbf{A}_H)}+ 1   },
\end{align}
که در آن
 ${\cond(\mathbf{A}_H)}$ عدد شرطی ماتریس
${\mathbf{A}_H}$ 
است. قضیه 
\ref{boundhss}
 نشان می‌دهد که  دنباله‌ی تولید شده توسط روش تکراری
$\HSS$
در  
\eqref{ihss}،
به ازای هر
$\alpha>0$، 
به جواب دستگاه 
\eqref{system}
همگراست  و سرعت همگرایی این روش وابسته به قسمت هرمیتی ماتریس 
$\mathbf{A}$
می‌باشد و به قسمت پادهرمیتی خود بستگی ندارد. دقت کنید که 
$\alpha_*$ 
یک کران بالا از شعاع طیفی ماتریس تکرار را مینیمم می‌کند و خود شعاع طیفی ماتریس تکرار را مینیمم نمی‌نماید. 

\section{روش  شکافت  نرمال و پادهرمیتی	(\gls*{nss})  }
فرض کنید 
$\mathbf{S}$ 
به  گونه‌ای انتخاب شود که  
$\mathbf{P}$
یک ماتریس نرمال شود. روش تکراری وابسته به چنین شکافتی   را روش 
\gls{nss}
می‌نامیم و ماتریس تکرار این روش را با 
$\mathbf{G}_{{\rm NSS}}(\alpha)$
نشان می‌دهیم. چون 
$\mathbf{P}$
نرمال است،  ماتریس‌های  یکانی 
$\mathbf U $
و قطری 
$\Lambda$
وجود دارند به گونه‌ای که 
$\mathbf {  P}=\mathbf U \Lambda \mathbf U^*$ 
که در آن 
$\Lambda=\diag(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$.
بنابراین 
\begin{align*}
\rho(\mathbf{G}_{{\rm NSS}}(\alpha))& \leq \norm{\mathbf{G}_{{\rm NSS}}(\alpha)} =  \norm{(\alpha \mathbf I+\mathbf {  S})^{-1} (\alpha \mathbf I- \mathbf {  S})  (\alpha \mathbf I-\mathbf {  P}) (\alpha \mathbf I+\mathbf {  P})^{-1}}\\
&=
\norm{  (\alpha \mathbf I-\mathbf {  P}) (\alpha \mathbf I+\mathbf {  P})^{-1}}\
=\max_{  \mu_i  \in \sigma(\mathbf {  P})}  \left|\frac{\alpha-  \mu_i }{\alpha+  \mu_i  }\right| \\
&=
\begin{cases} 
\max \left \{ \frac{(\alpha-  \gamma_{\max})^2+  \eta_{\max}^2}{(\alpha+ \gamma_{\max})^2+  \eta_{\max}^2 },
~~\frac{(\alpha-  \gamma_{\min})^2+  \eta_{\max}^2}{(\alpha+ \gamma_{\min})^2+  \eta_{\max}^2 }  \right\}, 
~~ \text{}~~ \eta_{\max} <\sqrt{\gamma_{\min} \gamma_{\max}},\\
\frac{(\alpha-  \gamma_{\max})^2+  \eta_{\max}^2}{(\alpha+ \gamma_{\max})^2+  \eta_{\max}^2 }, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \text{}~~ \eta_{\max} \geq \sqrt{\gamma_{\min} \gamma_{\max}},
\end{cases}
\end{align*}
که  در آن 
$\gamma_{\min}$ 
و
$\gamma_{\max}$
به ترتیب کران‌های پایین و بالای  قسمت‌  حقیقی مقادیر ویژه‌ی ماتریس 
$\mathbf{\bar P}$
هستند (\cite{bai142007} را ببینید)  و  
$$\eta_{\max}=\max\{|\Im(\lambda)|:\lambda \in \sigma(\mathbf{\bar P})\}.$$ 
از این رو 
%	\cite{bai142007}
\begin{align*}  
\alpha_{*}=\argmin_{ \alpha>0} \delta(\alpha) = \begin{cases}
\sqrt{\gamma_{\min} \gamma_{\max}-\eta_{\max}^2}, \text{~~~~ ~~~~ }\eta_{\max} <\sqrt{\gamma_{\max} \gamma_{\min}},\\
\sqrt{\gamma_{\min}^2+\eta_{\max}^2}, \text{~~~~~ ~~~~~~ ~~~~ }\eta_{\max} \geqslant\sqrt{\gamma_{\max} \gamma_{\min}}. 	
\end{cases}
\end{align*}
به ویژه اگر 
${\mathbf{P}}$ 
یک ماتریس معین مثبت هرمیتی باشد، آنگاه 
$\eta_{\max}=0$ 
و بنابراین مقداری  که برای  پارامتر 
$\alpha$
در روش 
{\HSS}
پیشنهاد شد، به‌دست می‌آید. 
% \cite{bai242003}.  صززثذثذثز


\section{ روش	  \PSS      توسعه یافته   (\gls*{epss})}
\label{secepss}
در اینجا تعمیمی از روش  
{\PSS }
را ارائه می‌کنیم. فرض کنید 
$\mathbf{S}$ 
یک ماتریس پادهرمیتی دلخواه و 
$\mathbf{ A}$
یک ماتریس معین مثبت
باشد که ماتریس شکافت معین مثبت و پادهرمیتی متناظر با آنها به صورت  
\eqref{spss}
است  و بعلاوه فرض کنید 
$\Sigma$ 
یک ماتریس معین مثبت هرمیتی دلخواه باشد.   