\chapter*{نتیجه‌گیری}
\markboth{نتیجه‌گیری}{نتیجه‌گیری}
\thispagestyle{empty}
\addcontentsline{toc}{chapter}{نتیجه‌گیری}

\quad  در این رساله، ابتدا به حل یک دستگاه معادلات خطی که ماتریس ضرایب آن  نیمه معین مثبت هرمیتی هستند،  پرداخته   و یک تعمیم از روش تکراری شکافت معین مثبت و پادهرمیتی  به نام 
$\EPSS$، 
به همراه پیش‌شرط‌ساز وابسته به آن،  برای حل این دستگاه معادلات   معرفی شده است که در آن یک ماتریس معین مثبت هرمیتی $\Sigma$ بعنوان ماتریس انتقال، به جای ماتریس اسکالر 
$\alpha I$،
در روش شکافت معین مثبت و پادهرمیتی در نظر گرفته شده است. همگرایی و نیمه همگرایی این روش، برای حل چنین دستگاه‌هایی بررسی شده است. نشان داده شده که اگر ماتریس ضرایب دستگاه، معین مثبت هرمیتی باشند،   این روش، بدون هیچ محدودیتی روی 
$\Sigma$،
همگرا می‌باشد. اما اگر این روش، برای حل دستگاه‌هایی با ماتریس ضرایب نیمه معین مثبت هرمیتی به کار گرفته شود، آنگاه ممکن است همگرایی و نیمه همگرایی وجود نداشته باشد. 
اگرچه نشان داده شده که در این حالت، تمام مقادیر ویژه ماتریس تکرار، درون و روی دایره‌ای به شعاع 1 قرار می‌گیرند و لذا می‌توان از پیش شرط‌ساز وابسته به این روش،  بعنوان پیش‌شرط‌سازی برای روش‌های تکراری  زیرفضای کرایلف استفاده کرد. در ادامه زمانیکه  $\Sigma=\alpha Q$، فرمولی برای به دست آوردن پارامتر بهینه‌ای  که کران بالای شعاع طیفی ماتریس  تکرار روش را مینیمم می‌کند، ارائه شد و  سپس، به معرفی چندین روش تکراری با ماتریس انتقال معین مثبت هرمیتی
$\Sigma=\alpha Q$
و محاسبه پارامتر بهینه در آنها پرداخته شده است. 
  با ارائه نتایج عددی، تاثیر ماتریس انتقال معین مثبت هرمیتی، بر روی رفتار روش شکافت معین مثبت هرمیتی و پادهرمیتی و روش‌های وابسته به آن، به همراه  پیش‌شرط‌سازهای متناظر با آنها، مشخص شده است. ملاحظه می‌شود که هر چه   ماتریس انتقال معین مثبت هرمیتی 
$\Sigma$
به  قسمت معین مثبت هرمیتی ماتریس نزدیکتر شود، آنگاه   شعاع طیفی ماتریس تکرار کاهش یافته  که باعث  کاهش تعداد تکرارها در بکارگیری این  روش‌ها، برای حل یک دستگاه معادلات خطی می‌گردد. از سویی این امرباعث افزایش خوشه شدن مقادیر ویژه ماتریس پیش‌شرط‌سازی شده در اطراف   نقطه 
$(1,0)$
 به دور از 
$(0,0)$
 شده که به موجب آن، تعداد تکرارها در روش شروع مجدد
$\GMRES(m)$ 
کاهش می‌یابد.  هر چند که در حالت کلی، ممکن است زمان حل به دست آوردن جواب افزایش یابد، اما می‌توان با انتخاب مناسب ماتریس انتقال  $\Sigma$ در روش 
$\SEPSS$،
 سرعت همگرایی این روش تکراری و پیش‌شرط‌ساز وابسته به آن را بهبود بخشید.  
 
 در ادامه به بررسی مسائل نقطه زینی تعمیم یافته پرداخته و شرایط وجود و یکتایی جواب آن را مورد مطالعه قرار داده‌ایم. سپس  
 تعمیمی از روش تجزیه انتقال-شکافت، برای حل مسائل نقطه زینی تعمیم یافته با بلوک $(1,1)$ معین مثبت  و بلوک $(2,2)$ نیمه معین مثبت هرمیتی به همراه یک نسخه تعدیل یافته آن، ارائه شد و 
   نتایجی برای پیش‌شرط‌ساز این روش و نسخه تعدیل یافته آن، برای حل مسائل نقطه زینی، به دست آمد.
    در ادامه یک حالت منظم‌سازی شده از روش تجزیه معین مثبت هرمیتی و پادهرمیتی به نام
   $\REHSS$،
   برای حل مسائل نقطه زینی معرفی گردید و نتایجی پیرامون این روش به همراه   پیش‌شرط‌ساز وابسته به آن، برای حل مسائل نقطه زینی  ارائه شد. با ارائه مثال‌هایی، رفتار این   پیش‌شرط‌ساز با   پیش‌شرط‌سازهای 
   $\HSS$
   و 
   $\RHSS$
   که برای حل مسائل نقطه زینی معرفی شده‌اند، مورد آزمون قرار گرفت که نتیجه آن عملکرد خوب   پیش‌شرط‌ساز 
   $\REHSS$ در مقایسه با این دو پیش شرط ساز بود.
   
   سپس  روش 
   $\EPSS$ و
     پیش‌شرط‌ساز وابسته به آن،  برای حل مسائل نقطه زینی تعمیم یافته معرفی شد. نشان داده شد که این روش، یک تعمیم  از بسیاری روش‌ها و پیش‌شرط‌سازهایی است که برای حل مسائل نقطه زینی معرفی شده‌اند. 
     شرایط همگرایی و نیمه همگرایی این روش به دست آمد.  اگرچه   روش     $\EPSS$  شامل حالت‌های مختلف بسیاری می‌شود، اما یک حالت خاص از این  روش
      در نظر گرفته شد و پارامترهای  بهینه برای این روش به دست آمد. 
      با ارائه مثال‌هایی، رفتار پیش‌شرط‌ساز این روش در مقایسه با برخی روش‌های موجود برای حل مسا‌ئل نقطه زینی، مورد آزمون قرار گرفت که نتایج عددی، حاکی از عملکرد مطلوب این پیش‌شرط‌ساز، نسبت به سایر پیش‌شرط‌سازهای دیگر داشت. 
      
      همانطور که اشاره شد، پیش‌شرط‌ساز 
      $\SEPSS$
      تنها یک حالت خاص از شکل کلی ارائه شده است و بهترین انتخاب ممکن نیست. بنابراین هنوز امکان بهبود یا پیشنهاد یک پیش‌شرط‌ساز کاراتر وجود دارد. بنابراین در آینده، می‌توان روی این موضوع تمرکز نمود.
    
 
